北师大版九年级数学上册第4章测试题及答案

北师大版九年级数学上册第4章测试题及答案(时间：120分钟满分：120分)姓名：________班级：________分数：________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝50°，则∠D的度数为(C)A．30°B．40°C．50°D．60°2．已知eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)(a≠0，b≠0)，下列变形中错误的是(B)A.eq\f(a,b)＝eq\f(2,3)B．2a＝3bC.eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)D．3a＝2b3．如图，直线AB∥CD∥EF，直线AF与BE交于点O，直线BE，AF分别与直线CD交于点C，D，则下列各式中，与eq\f(DF,AF)相等的是(D)A.eq\f(EF,AB)B.eq\f(CE,BC)C.eq\f(OE,BE)D.eq\f(CE,BE)4．如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18m的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5m到点C，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6m，则高楼MN的高度是(C)A．18.5mB．18.8mC．19.2mD．21.3m5．如图，E，F分别是矩形ABCD边AB，AD上的点(不与矩形的顶点重合)，BF⊥CE，垂足为P，则图中与△BPE相似的三角形有(D)A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒eq\r(2)cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为ts，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为(B)A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知实数a，b满足a＝2b，则eq\f(a,b)的值是__2__．8．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，可添加的条件是__答案不唯一，如：∠B＝∠DEF或∠ACB＝∠F__．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)9．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，连接DE并延长交AB的延长线于点F.若CE∶BE＝4∶3，则△BEF与△ADF的周长之比为_3∶7__．10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－4，4)，(0，4)，点C，D的坐标分别为(0，1)，(2，1)．若线段AB和CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为__(0，2)__．11．如图，晚上，身高1.5m的小颖站在两盏相距25m的同样高的路灯之间．现测得她在路灯A照射下的影长FG为2m，她在路灯B照射下的影长FH为3m，则这两盏路灯的高度是__9__m.12．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，E为AB上的动点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动．设E点的运动时间为ts(0≤t＜12)，连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为4,7或9．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，d＝eq\r(6)，求线段c的长．解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，∴a∶b＝c∶d，而a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，d＝eq\r(6)，∴c＝eq\f(ad,b)＝eq\f(\r(3)×\r(6),\r(2))＝3.∴线段c的长是3.14．如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC，如果AB＝9，AE＝4，AF＝3，那么FC的长是多少？解：∵EF∥BC，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC)，∵AB＝9，AE＝4，AF＝3，∴eq\f(4,9)＝eq\f(3,AC)，∴AC＝eq\f(27,4)，∴FC＝AC－AF＝eq\f(15,4).15．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．解：△ABC和△DEF相似．理由：由图形可知AB＝2，根据勾股定理，得BC＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(5)；DE＝eq\r(2)，DF＝eq\r(10)，EF＝2，∵eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,EF)＝eq\f(AC,DF)＝eq\r(2)，∴△ABC∽△DEF.16．如图，在5×5的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．(①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹)(1)在图①的方格中作出与△ABC相似的最小格点三角形；(2)在图②中把线段AC分成三条相等的线段AE＝EF＝FC，点E，F都在线段AC上．解：(1)如图①，△A1B1C1即为所求．(2)如图②，点E，F即为所求．17．在如图所示的网格中，已知△ABC和点M(1，2)．(1)以点M为位似中心，位似比为2，在点M的同侧画出△ABC的位似图形△A′B′C′；(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．(2)A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接相应的对角线AC，EG.(1)求证：△ABC∽△EFG；(2)若eq\f(AC,EG)＝eq\f(1,2)，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为eq\f(1,4)．(1)证明：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴eq\f(BA,FE)＝eq\f(BC,FG)，∠B＝∠F，∴△ABC∽△EFG.19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E.AD＝5，DE＝3，求CD的长．解：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAE＝90°－∠CAD＝∠C，∴Rt△ACD∽Rt△DAE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(DE,AD)，∴AC＝eq\f(25,3)，在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\f(20,3).20．如图，互相垂直的两条公路AM，AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30m，AD＝20m．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C.(1)DQ＝10m时，求△APQ的面积；(2)当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600m2.解：(1)S△APQ＝1350m2.DQ的长应设计为60或eq\f(20,3)m.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图①，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，将△BDC绕着点D逆时针旋转，得到图②的△B′DC′，连接AC′，B′C.(1)若B′D∥AC，B′D＝1，则旋转角是__30°__，点C到C′的运动路径是eq\f(\r(3),6)π；(2)求eq\f(B′C,AC′)的值．解：(2)由旋转的性质得∠ADC＝∠B′DC′＝90°，DC＝DC′，∴∠B′DC＝∠ADC′，∵∠B＝60°，CD是△ABC的高，∴eq\f(BD,CD)＝eq\f(1,\r(3))，∠A＝30°，∴eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,\r(3))，∴eq\f(DC′,DA)＝eq\f(1,\r(3))，∴eq\f(DB,DC)＝eq\f(DC′,DA)，即eq\f(DB′,DC′)＝eq\f(DC,DA)，而∠B′DC＝∠ADC′，∴△DB′C∽△DC′A，∴eq\f(B′C,AC′)＝eq\f(DC,DA)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).22．如图，小昌同学和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离(即DE的长度)，小昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小昌在平面镜内可以看到点E.且测得BC＝3m，CD＝28m．∠CDE＝150°.已知小昌的眼睛到地面的距离AB＝1.5m，请根据以上数据，求DE的长度．(结果保留根号)解：过E作EF⊥BC于点F，∵∠CDE＝150°，∴∠EDF＝30°，设EF为xm，DF＝eq\r(3)xm，DE＝2xm，∵∠B＝∠EFC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EFC，∴eq\f(AB,EF)＝eq\f(BC,FC)，即eq\f(1.5,x)＝eq\f(3,28＋\r(3)x)，解得x＝56＋28eq\r(3).∴DE＝(112＋56eq\r(3))m.答：DE的长度为(112＋56eq\r(3))m.六、(本大题共12分)23．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．(1)【猜想】如图①，点D在BC边上，BD∶BC＝2∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则eq\f(AP,PD)的值为eq\f(3,2)；(2)【探究】如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD∶BC＝1∶2，求eq\f(AP,