北师版九年级数学上册期中试题期末试题

北师版九年级数学上册期中试题期末试题（含答案）期中检测题(考试时间：120分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题共18分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．方程(x－2)2＝9的解是(C)A．x＝5 B．x＝－1C．x＝－1或x＝5 D．x＝－5或x＝12．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(A)A．x(x－1)＝90 B．x(x－1)＝2×90C．x(x－1)＝90÷2 D．x(x＋1)＝903．在盒子里放有三张分别写有整式a＋1，a＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(1,6) D.eq\f(3,4)4．若关于x的方程x2＋x－a＋eq\f(9,4)＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(C)A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜25．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E.若AD＝8cm，则OE的长为(B)A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm第5题图第6题图6．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于(A)A．6eq\r(3)米 B．6米 C．3eq\r(3)米 D．3米第Ⅱ卷(非选择题共102分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根为x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是－4.8．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是eq\f(1,3)，那么添加的球是红球．9．如图，阴影部分表示的四边形是__正方形．第9题图第11题图10．某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为__15%__.11．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若BC＝eq\r(3)，则折痕CE的长为__2__.12．已知直角三角形两边x，y满足|x2－9|＋eq\r(y2－8y＋16)＝0，则第三边长为__5或eq\r(7)__.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(1)解方程x(2x－4)＝5－8x.解：去括号，得2x2－4x＝5－8x，移项，得2x2＋4x＝5，二次项系数化为1，得x2＋2x＝eq\f(5,2)，配方，得x2＋2x＋1＝eq\f(5,2)＋1，即(x＋1)2＝eq\f(7,2)，两边开平方，得x＋1＝±eq\r(\f(7,2))，∴x1＝－1＋eq\f(\r(14),2)，x2＝－1－eq\f(\r(14),2).(2)已知：直角三角形的周长为2＋eq\r(6)，斜边上的中线长为1，试求这个直角三角形的面积．解：设两条直角边分别为a，b，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,a＋b＝\r(6)，))故2ab＝6－4＝2，即eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)，所以直角三角形的面积为eq\f(1,2).14．关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k)＞0，即4k＞－9，解得k＞－eq\f(9,4).(2)若k是负整数，k只能为－1或－2.如果k＝－1，原方程为x2－3x＋1＝0，解得x1＝eq\f(3＋\r(5),2)，x2＝eq\f(3－\r(5),2).(如果k＝－2，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2)15．如图，在菱形ABCD中，E是AB上一点，DE交对角线AC于F.试说明：∠FBC＝∠AED.解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠DCA＝∠BCA，∴△DCF≌△BCF，∴∠FBC＝∠CDF.∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠AED，∴∠FBC＝∠AED.16．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__2x__件，每件商品盈利__(50－x)__元(用含的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？解：由题意得(50－x)(30＋2x)＝2100，化简得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去．∴x＝20.即每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．17．如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD.求证：四边形DBEF是矩形．证明：∵CE＝CD，CF＝CB，∴四边形DBEF是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CE＝CF，∴BF＝DE，∴四边形DBEF是矩形．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．已知α，β是关于x的方程mx2＋2x－3＝0的两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)取一个适当的m值，求2α－3αβ＋2β的值．解：(1)由题意得Δ≥0，且m≠0.∴22－4m×(－3)≥0，∴m≥－eq\f(1,3)且m≠0.(2)取m＝1，则方程为x2＋2x－3＝0，∴α＋β＝－2，αβ＝－3.∴2α－3αβ＋2β＝2(α＋β)－3αβ＝2×(－2)－3×(－3)＝5.19．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.”他的说法对吗？请说明理由．解：(1)设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意得x2＋(10－x)2＝58.解得x1＝3，x2＝7.则这两个正方形的周长分别为4×3＝12cm，4×7＝28cm.所以小林应把铁丝剪成12cm和28cm的两段；(2)小峰的说法是对的．假设能围成，由(1)得x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.∵(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程没有实数根，即围成的两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.所以小峰的说法是对的．20．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，∴AF＝AD＝10，DE＝EF.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝eq\r(102－82)＝6，∴FC＝BC－BF＝4.设EC＝x，则DE＝8－x，EF＝8－x.在Rt△EFC中，∵EC2＋FC2＝EF2，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴EC的长为3cm.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b，c(除颜色外其他均相同)，用画树状图法(或列表法)解答下列问题：(1)小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球，则小丽两次都摸到白球的概率是多少？(2)小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，则小强两次都摸到白球的概率是多少？解：(1)所有可能结果共有6种，两次都摸出白球的结果共有2种，∴两次都摸到白球的概率是P1＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)所有可能结果共有8种，两次都摸出白球的结果共有4种，∴两次都摸到白球的概率是P2＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).22．如图，▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,∠A＝∠C，,AE＝CF.))∴△ADE≌△CBF(SAS)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵AE＝CF，∴EB＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵DF＝FB，∴四边形DEBF为菱形．六、(本大题共12分)23．操作与探究：如图①，在正方形ABCD中，AB＝2，将一块足够大的三角板的直角顶点P放在正方形的中心O处，将三角板绕O点旋转，三角板的两直角边分别交边AB，BC于点E，F.(1)试猜想PE，PF之间的大小关系，并证明你的结论；(2)求四边形PEBF的面积；(3)如图②，现将直角顶点P移至对角线BD上其他任意一点，PE，PF之间的大小关系是否改变？并说明理由．解：(1)PE＝PF.证明如下：如图①.作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC.∴PM＝PN.在四边形BEPF中，∵∠EBF＝∠EPF＝90°，∴∠PFB＋∠PEB＝180°.又∵∠PEB＋∠PEM＝180°，∴∠PFB＝∠PEM.在Rt△PEM和Rt△PFN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PEM＝∠PFN，,∠PME＝∠PNF，,PM＝PN，))∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS)．∴PE＝PF.(2)由(1)知四边形PEBF的面积等于正方形PMBN的面积．∵BO＝OD，OM∥AD，∴BM＝AM＝1.∴S四边形PEBF＝1.(3)不会改变．理由：如图②，作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC.∴PM＝PN.在四边形BEPF中，∵∠EBF＝∠EPF＝90°，∴∠PFB＋∠PEB＝180°.又∵∠PEB＋∠PEM＝180°，∴∠PFB＝∠PEM.在Rt△PEM和Rt△PFN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PEM＝∠PFN，,∠PME＝∠PNF，,PM＝PN，))∴Rt△PEM≌Rt△PFN(AAS)，∴PE＝PF.期末检测题(考试时间：120分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题18分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．下列立体图形中，主视图是圆的是(A)2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形(A)A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF第2题图第3题图3．如图，双曲线y＝eq\f(8,x)的一个分支为(D)A．① B．② C．③ D．④4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a，b是关于x的方程x2－7x＋c＋7＝0的两根，那么AB边上的中线长是(B)A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2) C．5 D．25．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED为(A)A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5第5题图第6题图6．一只蚂蚁在如图所示的树上觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，它获得食物的概率是(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)第Ⅱ卷(非选择题102分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－x－3＝0的所有实数根的和等于__4__.8．有四张扑克牌，分别为红桃3，红桃4，红桃5，黑桃6，背面朝上洗匀后放在桌面上，从中任取一张放回记下数字和颜色，再背面朝上洗匀，然后再从中随机取一张，两次都为红桃，并且数字之和不小于8的概率为eq\f(3,8).9．如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，若A的坐标为(－3，4)，则A′的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－2)).第9题图第10题图10．如图所示的几何体由若干个棱长为1的正方体堆放而成，则这个几何体的俯视图面积是__5__.11．如图，已知反比例函数y＝eq\f(6,x)在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO，AB，且AO＝AB，则S△AOB＝__6__.第11题图第12题图12．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上的一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是__5eq\r(2)或5或4eq\r(5).三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．解方程：(1)x2－6x－6＝0； (2)2x2－7x＋3＝0.解：x1＝3＋eq\r(15)，x2＝3－eq\r(15)； 解：x1＝eq\f(1,2)，x2＝3.14．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝4，P是BC边上一动点(不与B，C重合)，DE⊥AP于E.(1)试说明△ADE∽△PAB；(2)若PA＝x，DE＝y，请写出y与x之间的函数关系式．解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠EAD＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠APB＝90°，∴∠EAD＝∠APB，又∵DE⊥AP，∠AED＝∠B＝90°，∴△ADE∽△PAB.(2)由(1)知△PAB∽△ADE，∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(AB,DE)，∴eq\f(x,4)＝eq\f(4,y)，∴y＝eq\f(16,x)(4＜x＜4eq\r(2))．15．已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．(1)解：把x＝1代入方程x2＋mx＋m－2＝0得1＋m＋m－2＝0，解得m＝eq\f(1,2).(2)证明：Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4.∵(m－2)2≥0，∴(m－2)2＋4＞0，即Δ＞0恒成立，∴此方程有两个不相等的实数根．16．如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的两倍(即新三角形与原三角形的位似比为2)，画出图形；(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．解：(1)画图略；(2)B′(－6，2)，C′(－4，－2)．17．如图，过△ABC的顶点A分别作∠ACB及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E，F，连接EF交AB于M，交AC于N.求证：(1)四边形AECF是矩形；(2)MN＝eq\f(1,2)BC.(1)证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∠ACB＋∠ACD＝180°，∴eq\f(1,2)∠ACB＋eq\f(1,2)∠ACD＝90°，即∠ACE＋∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°.又∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°.∴四边形AECF是矩形．(2)由(1)知四边形AECF是矩形，∴AN＝CN＝MN＝NF，∴∠NMC＝∠NCE.又∵∠NCE＝∠BCE，∴∠NMC＝∠BCE，∴MF∥BC.又∵AN＝CN，即N为AC的中点，∴M为AB的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN＝eq\f(1,2)BC.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放(发放的食品价格一样)，食堂在昨天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．(1)按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；(可能，必然，不可能)(2)请用列表法或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．解：画树状图如下：∴小张同学得到猪肉包和油饼的概率为eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).19．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：(1)由题意得60×(360－280)＝4800元，即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；(2)设每件商品应降价x元，由题意得(360－x－280)(5x＋60)＝7200，解得x1＝8，x2＝60.要更有利于减少库存，则x＝60.答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．20．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，AE＝GF＝CG.(1)求证：四边形AEFG是平行四边形；(2)当∠FGC＝2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．证明：(1)∵FG＝GC，∴∠GFC＝∠C.∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠GFC，∴AE∥FG.又∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．(2)∵∠GFC＝eq\f(1,2)(180°－∠FGC)，∠FGC＝2∠EFB，∴∠GFC＝eq\f(1,2)(180°－2∠EFB)，∴∠GFC＋∠EFB＝90°，∴∠EFG＝180°－∠GFC－∠EFB＝90°.又由(1)证得四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12m，塔影长DE＝18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为多少米？解：如图，延长CD交AE于G，作DF⊥CD交AE于F.由题意可知eq\f(FD,DE)＝eq\f(1.6,2)，eq\f(FD,DG)＝eq\f(1.6,1)，∴FD＝14.4，DG＝9，∵FD⊥BG，AB⊥BG，∴FD∥AB.∴△GFD∽△GAB.∴eq\f(FD,AB)＝eq\f(GD,GB).∴eq\f(14.4,AB)＝eq\f(9,9＋6).∴AB＝24.答：塔高为24米．22．如图所示，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)解：∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠C，又∵