19-20版 第3章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例

aa3.2.2学习目标

函数模型的用实例核心素养1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．能建立数模型解决实际问题．重点、难点)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)

通过本节内容的学习使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养1．常用数模型(1)一次函数模型

y＝＋(k，为常数，k≠0)(2)二次函数模型

y＝2

＋＋ca，b，c常数，a≠0)常用函数模型

(3)指数函数模型(4)对数函数模型

y＝x＋ca，b，c为常数b≠0，a且a≠y＝logx＋n，a，n为常数，≠，a>0a≠(5)幂函数模型

y＝n

＋(，为常数，a≠0)(6)分段函数模型

＋b（x），y＝＋d（≥m）2.建立函数模型解决问题的基本过程1/11

222222思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？[示]行：

利用函数知识和函数观点解决实际问题，般按以下几个步骤进一)题；二)建模；()模；四还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是数值随自变量变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x568910y1719212327A．一次数模型C．指数函数模型

B．二次函数模型D．对数函数模型A[变量每增加1数值增加函数值的增量是均匀的故为一次函数模型．故选A.]2．某地为抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物已知该动物的繁殖数量(只与引入时间x年)的关系为y＝ax＋若该动物在引入一年后的数量为只，则第7年它们发展到()A．只C．600

B．D．700A[＝1＝100入＝a(x1)＝a(1a100.所以x7，y100log

2

(71)3．据调查某自行车存车处在某星期日的存车量为2000次，其中变速车存车费是每辆一次元，普通车存车费是每辆一次元，若普通车存车数为x次，存车费总收入为y元，则y关于x的数关系式是()2/11

2h20a2h20aA．＝0.3＋800(0≤x≤2B．y＝0.3＋1≤≤2000)C．y＝－0.3＋≤≤2000)D．y＝－0.3x＋1≤2000)D[题意知，变速车存车数为(x辆次，总收入＝0.5x000－x×0.8－x1600(0x≤2000)]4．某汽车输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y营运年数x∈N为二次函数关系(如图)车有营运利润的时间不超过_．7

[二次函数＝a－6)

＋11又过点(，，所以＝－，即y－(－6)

＋11.解y≥0－≤x≤6营运利润的时间为又11<7，以有营运利润的时间不超过年．]利用已知函数模型解决实际问题【例1】物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的t初始温度是T，经过一定时间后的温度是则T－T＝(－)×，其中a0aT表示环境温度为半衰期一杯用℃热水冲的速溶咖啡24℃的房间中，如果咖啡降温到℃需要min，那么降温到32℃时，需要多长时间？[]

先设定半衰期h，题意知3/11

h2即＝，12123＝＝＝，h2即＝，12123＝＝＝，t30.22204024－24)，2014解之，得＝，故原式可化简为tT24(88－×，当T时，代入上式得t3224－24)，即

t864因此，需要30min，降温到32℃已知函数模型解决实际问题往往给出的函数解析式含有参数需要将题中的数据代入函数模型求得函数模型中的参数再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．1.某种商品在近30内每件的销售价格P(元和时间t(天)的函数关系为：（0<）＝(t∈N*＋（25≤t≤30）.设该商品的日销售量件)时间t(天)函数关系为＝40－(0<t≤30，t∈N*，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[]

设日销售金额为y元)，则yPQ，4/11

为mmm2时，y取得最大值＋m424为mmm2时，y取得最大值＋m424所以y

t＋8000<），140t00025≤30.

t∈N*①当0<<25且t∈N*，＝－(－10)2900，所以当t＝10，y＝900()②当25≤≤t∈N*，y(t－70)

－900，所以当t＝25，y＝元)．结合①②得ymax1125(．因此，这种商品日销售额的最大值为125，在第25时日销售金额达到最大.自建确定性函数模型解决实际问题【例2】牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量必须留出适当的空闲量已知羊群的年增长量只和实际畜养量x与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．写出关于的函数解析式，并指出这个函数的定义域．求羊群年增长量的最大值．单调性思路点拨：畜养率→空率→yx间的函数关系→求最值[]

根据题意由于最大畜养量为m只实际畜养量为则畜养率xx，故空闲率为，由此可得ykxx)．k对原二次函数配方，＝－(

－mx＝－

km，即当x

.1．(条件)将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成5/11

mmk因为当xmmk因为当x时＋2424反比”又如何表示出关于x的函数解析式？[]

根据题，于最大畜养量为m只，际畜养量为x，畜养率为xx空闲率为1为羊群的年增长量y和实际畜养量与空闲率的乘积成反比，由此可得＝xx

(0<xm2.(变结论)若本例条件不变当羊群的年增长量达到最大值时k的值范围．[]

由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即＋y<mmkm＝，所以0<<m解得－2<<2.因为>0，所以0<k<2.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素谁是核心因素通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来可以是方程、函数式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件在实际问题中除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，人不能是半个等．拟合数据构建函数模型解决实际问题[究问题]1．际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？6/11

11223n11223n提示：不一定．2．于收集的一组样本数据(x，y)，，y)(x，y)…，x，)们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示先画上述数据的散点图再借助其变化趋势结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】

某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已2015为第年，前4年产量f)(万件)如下表所示：x3f(x)4.005.587.00画出2015～该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；年即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，产量减少，试根据所建立的函数模型，确定年的年产量为多少？依散点图待定系数法误差思路点拨：描点→

选模求模模→模[]

画出散点图，图所示．由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x＝ax＋b(a≠0)由已知得解得∴f)1.5＋2.5.检验：f(2)5.5，|5.58＝，f(4)8.5且|－＝0.06<0.1.∴一次函数模型f(x＝1.5x2.5能基本反映年产量的变化．根据所建的函数模型，预计年的年产量为f(5)1.5×5＝7/11

件，又年产量减少30%，10×70%7件，即2019的年产量为万件．函数拟合与预测的一般步骤是：根据原始数据、表格，绘出散点图．通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系，根条件对所给问题进行预测和控制，决策和管理提供依据．身高/cm体

2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：607090110120130140150160170重

6.13

7.90

9.90

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高x的函数关系？试写出这函数模型的解析式；若体重超过相同身高男性体重平均值的倍为偏胖为偏瘦，那么这个地区一名身高为cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？[]

以身高为横坐，体重为纵坐标，画出散点图．8/11

160160根据点的分布特征，可考虑以＝a

x

作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(707.90)，，，入＝a

x

得：70·

，

用计算器算得≈，≈这样，我们就得到一个函数模型：＝2×1.02

x

.将已知数据代入上述函数解析式或作出上述函数的图象可以发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．将＝175代入＝2×1.02

x

得y2×1.02

，由计算器算得≈63.98.于78÷63.98≈，所以，这个男生偏胖．1．函数的用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究从而间接求出所需要的结论．2．解函数用问题的步骤(四步八字)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学问题还原为实际问题．1.考辨析银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．()在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．9/11

()()

100100100100100100[案]

√

(2)√

√2．一辆汽在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A．分段数C．指数函数

B．二次函数D．对数函数A[图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]3．若镭经100后剩留原来质量的95.76%设质量1镭经过x年后剩留量为y，则x，的函数关系是()A．＝

x100B．y＝(0.9576C．y＝

xD．y＝1

x100A[题意可知y

xx，即y6.]4．已知A，两地相距，某人开汽车以的速度从地到达地，在B停留1小时后再以50km/h的度返回地．把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从地出发时开始)，并画出函数的图象；把