“构造函数”,巧求参数范围

专二“造数巧参范函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助函数的图象和性质求.高命题常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面零点所在区间——零点存在性定理二次方程根的分布问题判断零点的个数问题）根据零点的情况定参数的值或范围根零点的情况讨论函数的性质或证明不等式.本专题围绕高考压轴题中求参数范围问题，构造函数，例题说法，高效训.【典型题】第招参变分，造数例届三第一次全国大考数

恰有三个零点的值范围()A．B）CD）【答案】【解析】当点，令

时，

为减函数，令则问题可转化为函数

易得的图象与

，所以只需的图象有两个交.求导可得

有两个零，令

，即

，可解得

；令，即，解得，所以当

时，函数

单调递减；当

时，函数

单调递增，由此可知当

时，函数

取得最小值，即．同一坐标系中作出函数

与

的简图如图所示，

根据图可得

故选D.第招根据方做，造数例2.【东北三省三校（哈尔滨师附中、东北师大附中、辽宁省实验中)2019届高第一次模拟】已知函数

（为自然对数的底数

.（1当

时，求函数

的极小值；（2若当

时，关于的程

有且只有一个实数解，求的取范.【答案（2）【解析】（1当令

时，则

，列表如下：

，1单调递减所以.

极小值

单调递增（2设，设，，

，由

得，

，，

在

单调递增，即

在

单调递增，

，①当

，即

时，

时，，

在

单调递增,

又

，故当

时，关于的程

有且只有一个实数解，符合题.②当

，即

时，由（1）可知，所以故，

时，，

，又单调递减，又，故当

时，

，在

内，关于的程

有一个实数解1.又

时，

，

单调递增，且

，令

，,,故

在

单调递增，又在

单调递增，故

，故，又，零点存在定理可知，，故在又在综上，

内，关于的程内，关于的程.

有一个实数解.有一个实数解1，不合题意.第招求导转，造数例3.【山东省菏泽市2019届三下学期第一次模拟】已知函数.（1设，求函数

的单调区间；（2若函数

在其定义域内有两个零点，求实数的值范围【答案）单调递增区间为【解析】

，无单调递减区间.（2）

（1函数

的定义域为，令，令，；令，所以函数

在区间

上单调递减，在区间

上单调递增所以所以

对任意

恒成立，所以（2一

的单调递增区间为，单调递减区.的定义域为，所以“函数即方程

在其定义域内有两个零点”等价于“方程在区间内有两个不同的实数根

在区间

内有两个不同的实数根”故上述问题可以转化为函数

与函数

的图像在

上有两个不同的交点，如图若令过原点且与函数令切点

图像相切的直线斜率为，由图得

由，得，以又，以，解得于是，以故实数的值范围是（法二）

的定义域为，当所以

时，在

，，单调递增，所以

在

不会有两个零点，不合题意，当

时，令，，在

上，，

在

上单调递增，在

上，，

在

上单调递减，所以，又

时，时，

，，要使即所以

有两个零点，则有

所以，实数的值围为.第招换元转，造数例4川高中届三诊】已知

．求

的极值；若

有两个不同解，求实数的取值围．【答案）有极小值，为【解析】

；无极大值）的定义域是，

，令，得：，令，得：，故

在

递减，在

递增，故故

时，；记，，，可转化成，：，令，，令令

，解得：，解得：

，，

故且

在

递增，在时，，

递减，时，故，由，，

的性质有：，

和

有两个不同交点，，，，

各有一解，即

有2个同解，，

和

仅有1个点，，有2个同的解，即取其它值时，综上，的围是

有两个不同解，最多1个，【规律方法】构造函数的几种常用的构造技巧：1.通过作差构造函数：作差构造的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论．当然，适合这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负．2.利用“换元法”构造函数，换的目的是简化函数的形式．3.先分离参数再构造函数，将方变形为=h()构函数x，研究h()的性质来确定实数的取范围．4.根据导函数的结构，构造函数.【提升练】1建届考关键问题指导适应性练习（)已知函数，，关的方程

在区间

内有两个实数解，则实数的取范围()A．B．C．D．【答案】【解析】易知当≤0时，方程只有一个，所以>0．令，，令

得，为函数的极小值点，又关于的程=

在区间

内有两个实数解，所以，得，故选A.2省唐山市2019届高三下学期第一次模拟函则实数的为（）A．B．C．D．【答案】【解析】∵函数，有且只有一个零点，

，

有且仅有一个零点，

∴方程，，且只有一个实数根，令g（x，则g′（x）=，

时，g′（x）0，当

时，g′）0，∴g）在

上单调递增，在

上单调递减，当x=时g）取得极大值g）=，又g（0g（）=0，∴若方程故选B.

，，且只有一个实数，则a=3.【东省济宁市2019届高三第一次模拟知当唯一实数解，则所的区间是()

时于的方

有A．(3，4)

B，5)C，6)

D．(6【答案】【解析】由xlnx+﹣a）x+a，，令f（x）（x′）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4则g′（x＝1

0，∴g（x）在（，+∞）上为增函，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g）＝2﹣ln6＞0∴存在唯一x∈，6得g（x）＝0∴当x∈，x），′）＜0，∈（x，+∞）时，′（x）．则f（x）在（，x）单调递，在x，+）上单调递增．∴f（x）＝f）．

∵﹣4＝0，∴，则∈，6∴a所在的区间是（5，6故选：4市平区2019届三下学期第一次调查知数，

若关于的程

恰有三个不相等的实数,则的取值范围是A．B．C．D．【答案】【解析】关于的程即方程

恰有三个不相等的实数解，恰有三个不相等的实数解，即

与

有三个不同的交点.令，当当且当当当

时，，函数单调递减；时，，数单调递增；时，，时，，，时，，据此绘制函数

的图像如图所示，

结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是

.本题选择C选项.5徽省合肥市2019届三二次检测】设函数零点，则实数的值范围是（）A．BC．D．【答案】【解析】

，若函数

有三个设

，则

，在

上递减，在

上递增，

，且

时，，有三个零点等价于

与

的图象有三个交点，画出由图可得，

的图象，如图，时，

与

的图象有三个交点，此时，函数实数的值范围是

有三个零点，，故选【西省南昌市2019届三一次模拟已知函数

（为然对数的底数，直线（Ⅰ）求的值；

是曲线

在

处的切.【答案）【解析】（Ⅰ）

）存在k=0或2.，由已知，有，，得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，

恒成立，所以

在

上单调递减，又因为，，所以存在唯一的，得，且当

时，，，

当

时，，.所以

在

上单调递增，在

上单调递减又因为当

时，，，，，所以存在

或，得

在

上有唯一零点.7东青岛市2019届高三月一】已知函数数的底数

，，

为自然对（1当

时，证明：函数

只有一个零点；（2若函数

存在两个不同的极值点，，实数的值范.【答案）详见解析）.【解析】（1由题知：

，令

，

，当

，

，所以

在

上单调递减因为

，所以

在

上单调递增，在

上单调递减，所以

，故

只有一个零.（2由（）知：

不合题意，当又因为

时，因为，所以

，；

；，；又因为，因为函数，，，

所以，，所以存在，足，所以此时

，；，；，；存在两个极值点，0，符合题.当

时，因为

，；

，；以；所以

，即

在

上单调递减，所以

无极值点，不合题意综上可得：

.8.【陕西省咸阳市2019年高考拟检测（】已知函数

.（1当（2若函数

，求证；有两个零点，求实数的值范.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1证明：当

时，，得，知

在

递减，在

递增，综上知，当

，时，.（2法1，即，令，，

知

在

递增，在

递减，注意到，当且由函数

时，；，有个点，

时，，即直线法2：由

与函数

图像有两个交点，得.得，，当

时，，

在

上递减，不满足题意；当

时，，

在

递减，在

递增.，的零点个数为，即

，综上，若函数有两个零点，则.9南怀化市2019届高三3月第一次模拟】设函数.（1若（2当

是，

的极大值点，求的值范围；时，方程（中）有唯一实数解，求的值【答案）【解析】（1由题意，函数

（2）的定义域为，则导数为由，，

①若当当

，由时，时，

，得，此时，此时

.单调递增；单调递减.所以②若

是，由

的极大值点，得，.因为

是

的极大值点，所以

，解得综合①②：的值范围是（2因为方程

有唯一实数解，所以

有唯一实数解设，，令，因为，，以（舍去当当

时，时，

，，

在在

上单调递减，单调递增当

时，，

取最小值则，，所以设函数因为当

时，

，因为，是增函数，所以

，所以（*至多有一解因为，以方程*）的解为，，解得10通中届三质量测（)】已知函数.

（1讨论（2若方程

的单调性；有两个实数根，求实数的值围【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1由题可得

，当

时，

，

在

上单调递增；当

时，

，

，

在

上单调递增；，

，

在

上单调递减（2令，，知为，，，，

单调递增且一定有大于0的零，不妨设故若有有两个零点，需满足，即令，，以，所以的解集为，由，以.

在

，上单调递减当有令由于

时，，所以

，，，，，故

，所以

，

故

，

在

上有唯一零点，另一方面，在

上，当综上，

时，由.

增长速度大，所以有

，11东汕头市2019年通考第一次模拟】已知．（1讨论

的单调性）

存在3个点，求实数的值围．【答案）见解析）【解析）因为在在

，由和上，

，得上，，

或，单调递减，

）当单调递增；

时，，（ii）当（iii）当

时，时，

，在，

上，，

单调递增，在在

和上，

上，，

，单调递减，

单调递增；（2，所以

有一个零点．使得

有3个零点，即方程

有2个数根，又方程图像有两个交点，令，的单调性如表：

令即函数

与

1－－＋＋↘↘

极小值↗↗当

时，，，

的大致图像如图，所以，要使得

有3个零点，则实数的值范围为12东淄博市2019届三3模拟】已知函数

.（1若（2若

是在

的极大值点，求的；上只有一个零点，求的取范.【答案）【解析】

（2）(1)

，因为当

是时，

的极大值点，所以，

，解得