北师大版必修1第2章2.2(2)～2.3函数的表示法(二)映射

2.2函数的表示法（二）2.3映射学习目标1.会用解析法及图像法表示分段函数 .2.给出分段函数，能研究有关性质 .3.了解映射的概念.知识点一分段函数思考设集合A=RB=[0,+8）.对于A中任一元素x,规定：若x>0,则对应B中的y=x;若x<0,则对应B中的y=-x.按函数定义，这一对是不是函数？答案是函数.因为从整体来看， A中任一元素x,在B中都有唯一确定的y与之对应.梳理（1）一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.⑶作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像.知识点二映射思考设A=｛三角形｝,B=R,对应关系f:每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“ A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.梳理映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x.B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f:ZB.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x-y.函数一定是映射，映射不一定是函数..分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为 R.（x）.分段函数各段上的函数值集合的交集为 ？.（X）.分段函数的图像一定是不连续的. （x）.如果把“函数”和“映射”当成两个集合 A,B,则A?B.（V）类型一建立分段函数模型例1如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD底边BC长为7cm,腰长为2>/2cm,当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCM公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像.

考点分段函数题点求分段函数解析式解过点AD分别作AGLBC,DHUBC,垂足分别是G,H.因为四边形ABC比等腰梯形，底角为45°,AB=2,2cm,所以BG=AG=DH=HC=2cm,又BC=7cm,所以AD=GH=3cm.12(1)当点F在BG上，即x€[0,2]时，y=]x;(2)当点(2)当点F在GH上,即x€(2,5]时,y=；X2X2+2(x—2)=2x—2;⑶当点F在HC上，即xC(5,7］时,y=S五边形ABFED=S⑶当点F在HC上，即xC(5,7］时,=—1(x—7)2+10.综合(1)(2)(3),得函数的解析式为2x2,xC[0,2],y=2x-2,xC2,5],-2x-72+10,xC5,7].图像如图所示：反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画.跟踪训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：⑴5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像.考点分段函数题点求分段函数解析式解设票价为y元，里程为x公里，定义域为（0,20].0<x<5,5<x<10,由题意得函数的解析式为 y=10<xW15,15<x<20.函数图像如图所示:类型二研究分段函数的性质命题角度1给x求yx+1,x<-2,例2已知函数f(x)=x2+2x,—2<x<2,试求f(—5),f(—小),ff-2的值.2x—1,x>2.考点分段函数题点分段函数求值解..一5C(—8,—2],•.f(—5)=—5+1=—4.(―2,2),••f(一水)=(一水)2+2(一小)=3-2^,5♦一2C(一巴—2],-2+1=-2^(-2,2)2+232+2=f—2引申探究本例中f(x)解析式不变，若x>-5,本例中f(x)解析式不变，若x>-5,求f(x)的取值范围.解当一5WxW—2时，f(x)=x+1C[—4,-1];当一2<x<2时，f(x)=x2+2x=(x+1)2—1C[―1,8)；当x>2时，f(x)=2x-1€[3,+00)；当x>—5时，f(x)€[-4,-1]U[-1,8)U[3,)=[—4,+oo).反思与感悟 分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一区间.(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.x+4,x<0,跟踪训练2已知函数f(x)=x2-2x,0<x<4,—x+2,x>4.⑴求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图像.考点分段函数题点分段函数求值解(1)因为5>4,所以f(5)=—5+2=—3.因为一3<0,所以f(f(5)) =f(—3)=—3+4=1.因为0<1<4,所以f(f(f(5))) =f(1)=12—2X1=-1.(2)f(x) 的图像如下：命题角度2给y求x2x,x<2,例3 已知函数f(x)=⑴若f(x。)=8,求x。的值;(2)解不等式f(x)>8.考点分段函数题点分段函数求值解(1)当X0W2时，由2x0=8,得X0=4,不符合题意；当X0>2时，由x2+2=8,彳Xxo=<6或xo=—46(舍去)，故X0=,^6.x<2,(2)f(x)>8等价于 ①2x>8,x>2,或《+2>8 ②解①，XC?,解②得X>y6.综合①②，f(x)>8的解集为｛x|x>郃｝.反思与感悟 已知函数值求x取值的步骤(1)先对X的取值范围分类讨论.(2)然后代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出x的解.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.(5)若解不等式，应把所求 x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的 x的值并起来.X2,—Kx<1,跟踪训练3已知f(x)=1,x>1或x<—1.⑴画出f(x)的图像；(2)若f(x)>：,求x的取值范围；4⑶求f(x)的值域.考点分段函数题点 分段函数的定义域、值域解(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示.11 1 11(2)由于f±2=4,结合此函数图像可知，使f(x)>4的x的取值范围是 ―00,一万u万，.(3)由图像知，当一1WXW1时，f(x)=x2的值域为[0,1],当x>1或x<—1时，f(x)=1.所以f(x)的值域为[0,1].类型三映射的概念例4以下给出的对应是不是从集合 A到集合B的映射？⑴集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B={(x,y)|xCR,yCR},对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.考点映射的概念题点判断对应是否为映射解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应 f:A一B是从集合A到集合B的一个映射.(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f:A-B是从集合A到集合B的一个映射.(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应 f:A-B是从集合A到集合B的一个映射.(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应 f:AB不是从集合A到集合B的一个映射.反思与感悟 映射是一种特殊的对应，它具有： （1）方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同白（.（2）唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.跟踪训练4设集合A={x|1WxW2},B={y|1WyW4},则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是（ ）2f:x—y=xf:x-y=3x—2f:x—y=—x+42f:x—y=4—x考点映射的概念题点判断对应是否为映射答案D解析对于D,当x=2时，由对应关系y=4—x2得y=0,在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射..如图中所示的对应:TOC\o"1-5"\h\z其中构成映射的个数为( )A3 B.4C.5 D.6考点映射的概念题点判断对应是否为映射答案A2x2,0<x<12.f(x)的图像如图所示，其中Owxwi时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是2x2,0<x<12x2,0<x<1f(x)=2,1<x<2f(x)=2,1<x<23,x>2f(x)=2,1<x<23,x>22x2,0WxWlf(x)=2,1<x<23,x>2考点分段函数题点求分段函数解析式答案Dx+1,x>02x2,0WxWlf(x)=2,1<x<23,x>2考点分段函数题点求分段函数解析式答案Dx+1,x>0,3.设f(x)=1,x=0,—1,x<0,2x2,0<x<1f(x)=2,1<x<23,x>2则f（f（0））等于（ ）A.1B.0C.2D.-1考点分段函数题点分段函数求值答案Cx2+1,x<0,4.已知函数y= 则使函数值为5的x的值是（ ）—2x,x>0,—2或252或—£-252或—2或—2考点分段函数题点分段函数求值答案C1,x>0,5.设f(x)=0,x=0,—1,x<0,1,x为有理数,g（x）=0,x为无理数,则f（g（兀））的值为（A.1 B.0C.-1 D.兀考点分段函数题点分段函数求值答案B.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况..函数与映射的关系映射f:A-B,其中A,B是两个非空的集合；而函数y=f(x),xCA,A为非空的数集，其值域也是数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射 ^一、选择题—x,x<0,.设函数f(x)=弋x>。 若出口)=4,则实数”等于( )

A.—4或—2 B.—4或2C.—2或4 D.—2或2考点分段函数题点分段函数求值答案B解析当aW0时，由f(a)=-a=4,得a=-4;当a>0时，f(a)=a2=4,得a=2.a=-4或a=2.2,n=0,2.已知函数f(n)= 则f(5)的值是( )nfn—1,nCN+,A.4B.48C.240D.1440考点分段函数题点分段函数求值答案C2,n=0,解析因为f(n)=nfn—1,n€NI+,所以f(5)=5f(4)=5X4f(3)=5X4X3f(2)=5X4X3X2f(1)=5X4X3X2X1Xf(0)=5X4X3X2X1X2=240.故选C.则f(f(f(则f(f(f(—2)))等于( )3.已知f(x)=兀，x=0,0,x<0,A.兀 B,0C.2 D.兀+1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析f(—2)=0,f(0)=兀，f(兀)=兀+12,x€[-1,1],4.已知函数f(x)= 若f(f(x)) =2,则x的取值范围是( )x,x?[-1,1],?[-1,1](—8,—1)U(1,+8)D.{2}U[-1,1]考点分段函数题点分段函数求值

答案D解析若xC[-1,1],则f(x)=2,f(f(x)) =f(2)=2,符合题意；若x>1,则f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,此时只有x=2符合题意；若x<-1,则f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,但因为x<-1,答案D解析若xC[-1,1],则f(x)=2,f(f(x)) =f(2)=2,符合题意；若x>1,则f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,此时只有x=2符合题意；若x<-1,则f(x)=x,f(f(x)) =f(x)=x=2,但因为x<-1,此时没有x符合题意.5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米 2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )13立方米C.18立方米考点分段函数题点分段函数应用问题答案A14立方米D.26立方米解析该单位职工每月应缴水费mx,0<x<10,y与实际用水量x满足的关系式为y=2mx—10m,x>10.由y=16m，可知x>10.令2mx—10m=16m,解得x=13(立方米).6.著名的Dirichlet1,x取有理数时,函数D(x)=0,x取无理数时,则D(D(x))等于( )011C.0x取无理数时x取有理数时x取有理数时D.0,x取无理数时考点分段函数题点分段函数求值答案解析••D(x)€{0,1},，D(x)为有理数,・.D(D(x))=1.7.若集合A={a,bc},B={d,e},则从A到B7.若集合A={a,bA.5B.6C.8D.9考点题点答案C解析用树状图写出所有的映射为:+oo)=[0,+OO).+oo)=[0,+OO).f(x)的解析式为 c-d,b-dc—e,a-d ac-d,b-ec—e,二、填空题2x,0WxWl,8.函数f(x)=2,1<x<2,3,x>2考点分段函数题点 分段函数的定义域、值域答案[0,+8)解析 定义域为[0,1]U(1,2)U[29.函数f(x)的图像如图，则函数c-d,b-dc—e,e 共8个.c-d,b-ec—e,的定义域是考点分段函数题点求分段函数解析式2x,0<x<1,答案f(x)=2,1<x<2,3,x>2kx,代入(1,2),得k=2,解析当kx,代入(1,2),得k=2,f(x)=2x.当1<x<2时，f(x)=2,当x>2时，f(x)=3,2x0<x<1f(x)=2,1<x<2,3,x>2.1,x>0,10.已知f(x)= 则不等式xf(x)+xW2的解集是0,x<0,考点分段函数题点分段函数与不等式结合答案{x|x<1}解析当x>0时，f(x)=1,代入xf(x)+xW2,解得xw1,•••0WxW1；当x<0时，f(x)=0,代入xf(x)+xW2,解得x<2, x<0.综上可知x<1.b,a>b,11.若定义运算aOb= 则函数f(x)=xO(2—x)的值域是 .a,a<b,考点分段函数题点 分段函数的定义域、值域答案(—8,1]2-x,x>1,解析 由题意知f(x)=x,x<1.画出图像为由图易得函数f(x)的值域为(一8,1].三、解答题12.设函数f(x)x12.设函数f(x)x2+bx+c,x<0,2,x>0,若f(—2)=f(0),f(—1)=—3,求关于x的方程f(x)=x的解.考点分段函数题点分段函数求值解:当x<0时，f(x)=x2+bx+c,・一 一2一•・f(-2)=(-2)-2b+c,f(0)=c,f(-1)=(-1)2-b+c.-f(-2)=f(0),f(-1)=-3,—22—2b+c=c,•• 2―1—b+c=—3,b=2,解得c=—2.x2+2x—2,x<0,则f(x)=°n2,x>0,2当xW0时，由f(x)=x，得x+2x—2=x,得x=—2或x=1.由于x=1>0,故舍去.当x>0时，由f(x)=乂得x=2,・•・方程f(x)=x的解为一2,2.-2x,x<-1,13.已知函数f(x)=2,-1<x<1,2x,x>1.3 1 1(1)求f-2,f2,f(4.5),ff2(2)若f(a)=6,求a的值.考点分段函数题点分段函数求值3解(1):―2C(—8,—1),••.f3••.f3=-2X-3=3.2 21,,,f2=2.1又2c(1,+8),，ff2=f(2)=2X2=4.4.5e(1,+8),.•.f(4.5)=2X4.5=9.(2)经观察可知a?[—1,1],否则f(a)=2.右aC(—00,—1),令-2a=6,得a=—3,符合题意；若aC(1,+8),令2a=6,彳导a=3,符合题意