线性代数与概率统计作业 -枫叶情文明

一．问答题1．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。答：用n2个元素aij（i，j=1，2,3，…，n）组成的记号称为n阶行列式。D＝=＋＋＋这里，，…，分别被称为元素a11,a12,…，a1n的余子式记做M11，M12，…,M1n；而，，…，分别被称为元素a11,a12,…，a1n的代数余子式,记做A11，A12，…，A1n余子式与代数余子式的关系是Aij=(-1)i+jMIJ2．叙述矩阵的秩的定义。答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）＝r或R（A）＝r3．齐次线性方程组的基础解系是什么？答：定义：设T是的所有解的集合，若T中存在一组非零解满足（1）线性无关；（2）任意，都可用线性表出则称是此方程组的一个基础解系4．试写出条件概率的定义。答：条件概率的定义：在事件B发生的条件下事件A发生的概率定义为().5．试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。答：定理1（全概率公式）设事件构成完备事件组，且，则对任意事件B，有.特别地，当n=2时，全概率公式为.二．填空题1．行列式

4

．2．设均为3阶矩阵，且，则-72。3．如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它有

且只有零

解．4．用消元法解线性方程组，其增广矩阵经初等行变换后,化为阶梯阵

，则(1)当=0且时,无解;(2)当=0且=0时,有无穷多解;(3)当,t是任意实数时,

有唯一解。5．设有N件产品，其中有M件次品，若从N件产品中任意抽取n件，则抽到的n件中检有件次品的概率为P＝。6．随机变量数学期望的性质有（1）＝aE(X)+b（a，b为常数）；（2）设有两个任意的随机变量X，Y，它们的期望存在，则有＝。（3）设是相互独立的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有。7．设为总体的一个容量为的样本，则称统计量（1）＝（X1+X2+…+Xn）/n=为样本均值；（2）＝为样本方差。8．由概率的加法公式知，（1）对任意两个事件A，B，有＝；（2）如果事件A，B互不相容，则＝；三．计算题1．计算行列式．解：原行列式可化为：D=DT==+因为中第三四列对应成比例，所以行列式D==100=100=100﹡（-1）4+1﹡2+100﹡（-1）﹡（-1）4+4=100﹡（-2）=100﹡（-2）=100﹡（-2）﹡（-1）2+2﹡3=-18002．设，，求。解：－＝＝3．求矩阵的秩。解：→(r1)=(r2-5r1)=（,r3-2r1,r4-4r1）=()=（r3-r2,r4-r2）=所以，矩阵的秩为24．解齐次线性方程组。解：对系数矩阵施以初等变换：A＝→→→→与原方程组同解的方程组为：所以：方程组的一般解为（其中，为自由未知量）5．试问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：系数行列式为：所以，当时，该齐次线性方程组有非零解．6．设有甲、乙两名射手，他们每次射击命中目标的概率分别是0。8和0。7。现两人同时向同一目标射击一次，试求：（1）目标被命中的概率；（2）若已知目标被命中，则它是甲命中的概率是多少？ 解：设A={甲命中目标}，B={乙命中目标}，C={目标被命中}。则C=A+B，在这个问题中，A与B相互独立，而，那么（1）目标被命中的概率利用与的相互独立性，有 （2）在已知目标被命中条件下，则它是甲命中的概率为. 7．一袋中有m个白球，n个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求：（1）在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率；（2）在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率。解：用A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”。（1）袋中原有m+n个球，其中m个白球。第一次取到白球后，袋中还有m+n-1球，其中m-1个为白球。故；（2）袋中原有m+n个球，其中m个白球，第一次取到黑球后，袋中还有m+n-1个球，其中m个为白球。故. 8．某工厂生产一批商品，其中一等品点，每件一等品获利3元；二等品占，每件二等品获利1元；次品占，每件次品亏损2元。求任取1件商品获利X的数学期望与方差。解：9．设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为X12412X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6求：（1）；（2）；（3）。解：因为EX1=2×0.3+4×0.5+12×0.2=5EX2=6×0.4+7×0.6=6.6故（1）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)