八年级数学下册三角形的证明教案新北师大版

第一章三角形的证明本/章/整/体/说/课V教学目标「矩识写援能力.经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性，提高推理能力..进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容 ，掌握基本的证明方法，结合实例体会反证法的含义..能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理..探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理^.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念 ，会识别两个互逆命题，并明确原命题成立其逆命题不一定成立..已知底边及底边上的高线，能用尺规作出等腰三角形；已知一条直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形；能用尺规过一点作已知直线的垂线.F过程期甲经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，培养学生的推理论证能力.产情滕度与价面必发展勇于质疑、严谨求实的科学态度 .「教材分析“三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容 ，无论是《标准》对证明的要求上，还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位，以及证明在整套教材中的编排顺序，都和我们传统几何教学中的证明大有不同.本章是平行线的证明的继续，首先给出作为继续进行证明基础的几条公理 ，并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明 ^本章中所涉及的很多命题（如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等）在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索 ，所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题，教材力争将证明的思路展现出来.教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论 ，并回忆用来探索这些结论的方法和过程，因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发 ，然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来 ，本章中还涉及一些以前没有探索过的命题 ，这些命题的获得，有些是直接通过证明得到的，而对于有些命题，教材则尽可能地创设一些问题的情境 ，为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展 ，使学生经历“探索——发现一一猜想一一证明”的过程 ，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用.此外，教材还注意渗透数学思想方法，如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间 ，将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法 ，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，提高学生的思维能力.7教学重难点【重点】.等腰三角形的性质..等腰三角形的判定..直角三角形的性质..直角三角形的判定..线段的垂直平分线的性质定理..线段的垂直平分线的T质定理的逆定理 ..角平分线的性质定理..角平分线的性质定理的逆定理.【难点】.等腰三角形的性质的证明..添加辅助线的方法..勾股定理的证明..勾股定理的逆定理的证明..三线共点的证明方法..用尺规作等腰三角形..应用本章的知识证明或者解决有关的问题 .7教学建议推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的 ，在探索图形性质的活动中，学习合情推理；在交流的过程中，学习有条理思考；在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上，从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质 ，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动 ^因此在前几册的学习中，学生们已经经历了探索图形性质的过程 ，并且发现了图形的很多性质，但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始，逐渐地开始证明已探索过的图形的性质，同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形 .在这个过程中，原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的 ，应注意引导和启发.很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的 ，辅助线的添加方法也是多样的，因此，在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法 ，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同 ，发散逻辑思维.另外，通过一定数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下：.等腰三角形：教材直截了当地提出等腰三角形的性质，进而去探讨证明的思路，我认为创设问题的情境不足，学生准备不充分.我采用先折纸，再复习等腰三角形的性质，而后提出证明，并分析证明的思路，让学生在循序渐进的过程中学习..直角三角形：利用图形割补的方法可以证明勾股定理 ，但证明有一定的难度，因此在“读一读”中介绍了两种方法，可供有兴趣的学生阅读，而不作为对所有学生的要求..勾股定理的逆定理的证明方法新颖 ，对学生来说有一定难度，教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可，不必做更多要求..线段的垂直平分线：对于作图学生没有困难，但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由，学生就会感到困难，在教学中，应注意引导学生会说明理由，学生的思路可能较多应鼓励学生多种思维发展；应让学生在作图的基础上，学会用尺规作已知直线的垂线（过直线上一点或直线外一点）、已知底边和底边上的高作等腰三角形 ，作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计算..角平分线：学生已经探索过角平分线上的点的性质 ，此处可先让学生回顾其性质和探索过程，并尝试证明.在前面的学习中，学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题 .学习线段的垂直平分线时，也经历了构造其逆命题的过程，因此，学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时，可不加什么条件，但验证其真假时，教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线，所以就要附加“在角的内部”这个条件 .课时划分1等腰三角形4课时2直角三角形2课时3线段的垂直平分线2课时4角平分线2课时回顾与思考1课时课/时/教/学/详/案1等腰三角形①教学目标「矩识—.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质 ^.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质，掌握证明的基本步骤和书写格式..能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题 ^.理解并能说出等腰三角形的判定定理 ，且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法 ，且能够用其证明或解决有关的问题..能说出并能够证明在直角三角形中 ，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半，且能够应用其证明或解决有关的问题 ..了解反证法的思想和方法..经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程，感受数学白严谨性..在探索和证明中，提高学生的数学语言表达能力.|,盾感态度写价值观口在探索证明中，培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观工教受重蟠_【重点】TOC\o"1-5"\h\z.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用 ^.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用 ^【难点】.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索 ^.对反证法的认识和了解.第0］课时■整体设.工教受目恒_F疝暗技能］.了解作为证明基础的几条公理的内容 ..使学生经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.F过程霹取让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式.「情感态度耳,直观与经历作辅助线的证明过程，进一步发展学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系 .「心教学重难点_【重点】等腰三角形的性质及推论.【难点】命题的书写格式.Hi教学准备【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习三角形全等的判定方法.旧教学过.区新课导入导入一：请学生回忆并整理已经学过的 8条基本事实中的5条：.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；.两条平行直线被第三条直线所截 ，同位角相等；.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 （SAS）;.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 （ASA）；.三边对应相等的两个三角形全等 （SSS）.在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件 ：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （AAS）,并要求学生利用前面所提到的公理进行证明.已知：如图所示,在△ABCF口△DEF中，有/A=ZD,ZB=ZE,BGEF.求证△AB笠△DEF.证明：.「/A=ZD/B=ZR已知），又/A+/B+/C=180°,/D+/E+/F=180°（三角形内角和等于 180°）,.•・/C=180°-（ZA+ZB）,ZF=180°-（ZD+ZE）,••.ZC=zF（等量代换）.又BGER已知）,..△AB室△DEFASA）.［设计意图］经过一个假期，学生对上学期所学知识难免有所遗忘，因此，在第一课时回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做足了知识准备.导入二：我们已经证明了有关平行线的一些结论 ，运用下面的公理和已经证明的定理 ，我们还可以证明有关三角形的一些结论 .我们已学过的部分基本事实：.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；.两条平行直线被第三条直线所截 ，同位角相等；.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 （SAS）;.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 （ASA）;.三边对应相等的两个三角形全等 （SSS）.通过上面的这些结论，我们能否证明等腰三角形的底角相等呢 ？［设计意图］ 帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用 ，同时通过设问引入本课时的学习内容.■新知构建一、等腰三角形的两底角相等［过渡语］ 等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？让学生按图示的方法先独自折纸观察 ，再探索并写出等腰三角形的性质.定理：等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角已知：如图所示,在△ABC^,AB=AC.求证/B=ZC.〔解析〕 我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等 .实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们，可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.证明：取BC的中点D,连接AD.(如图所示).ABACBD=CDADAD.△ABD\z△ACDSSS)./B=ZC(全等三角形的^•应角相等).［设计意图］通过折纸活动，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸，熟悉证明的基本步骤和书写格式.二、三线合一［过渡语］在上图中，线段AD还具有怎1¥的性质？为什么？由此你能得到什么结论？让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质，讨论图中存在哪些相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，这一结论通常简述为“三线合一” .推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 ^证明：过顶点A作/BAC勺平分线AD交BC于点D,.AD^△ABC中的角平分线，♦/BAR/CAD.在△ABW△AC加,AB挈△ACDSAS),BD=CD全等三角形的^•应边相等),/ADBZADC全等三角形的对应角相等).•.AD是BC边上的中线，/BDA90,.•.AD>BC边上白^高，•.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 ^［设计意图］教师和学生一起完成证明，可以让学生经历自主命题的证明过程 .同时,对学生书写格式的规范起到引领作用 .［知识拓展］“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”的定理是将“等腰三角形”作为一个前提条件得到的三个真命题 ，在学习等腰三角形的性质定理后，可将该定理作如下的延伸.如图所示，已知△ABC①ABAC②/1=/2，③ADLBC④BD=DC^，若其中任意两组成立，可推出其余两组成立.已知：;求证:;证明：.AA.Fr例如：已知②/1=/2，④B®DC求证①ABAC③ADLBC.根据等腰三角形的“三线合一”定理即可得证.证明：延长AD至E使DEAD连接CE.（如图所示）在△ABD^△EC加,..△AB坐△ECDSAS）.•.AB=EC/1=/E.,一/1=Z2,・./E=Z2,.CEAC.-AC=AB..■.ADLBC.亘课堂小结.定理：等腰三角形的两底角相等.TOC\o"1-5"\h\z.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 ^且检测反馈.一个等腰非等边三角形中，它的角平分线、中线及高线的条数共为 （重合的算一条）（ ）A.9 B.7 C.6 D.5解析：等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的平分线是一条 .故选B..在△ABCP,如果ABAC那么在这个三角形中，重合的线段是（ ）/A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高线/A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高线/B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高线D./C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高线解析：本题主要考查等腰三角形三线合一的性质 .故选B..若等腰三角形中有一个角为 110。，则其余两角分别为.解析：因为110。的角只能是顶角，所以其余两角均为35。.故填35。，35。..如果等腰三角形的一边长为6cm,周长为14cm,那么另外两边的长分别为.解析：边长为6cm的边有可能是腰也有可能是底 .答案:6cm,2cm或4cm,4cm.如图所示，在△ABC中，AB=ACD是AC上一点，且AD=BD=BC.求/A的度数.解：设/A=x。，.AD=BD. 1=ZA..•.Z2=/1+/A=2x.•BD=BC/C=Z2=2x.ABAC・♦/ABG/C=2x.由三角形内角和定理可知/ A+/ABC/C=180°,即5x=180,解得x=36./A的度数为36：6.（2015•佛山中考）如图所示,△ABB等腰三角形，ABAC.请你用尺规作图将△ABC分成两个全等三角形，并说明这两个三角形全等的理由.（保留作图痕迹，不写彳^法）解：由作图可知/BAD=ZCAD又AB=ACAD=AD^U4AB陛△ACDSAS）.叵板书设计第1课时一、等腰三角形的两底角相等二、三线合一府布置作业 一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】.在△ABC^,若ABAC/A=44°,则/B=度..已知等腰三角形两条边的长分别是 3和6,则它的周长等于..在△ABC43,ABAC/BAB120,延长BC到D使CD=AC则/CDA度..如图所示，已知AB=AC,FD!BC于DDELAB于E,若/AFB145。，则/ED后度..等腰直角三角形中，若斜边长为16,则直角边的长为.【能力提升】TOC\o"1-5"\h\z.一个等边三角形的边长为 a,它的高是（ ）A.aB.aC.a D.a.至少有两边相等的三角形是 （ ）A等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.锐角三角形

.如图所示,AABC^,AC=BC直线l经过点C,则 （ ）A.l垂直AB平分ABC.l垂直平分ABD.l与AB的位置关系不能确定T+++T+++++++J-T4++本++JL

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丁<+++++J_.（2015•宜昌中考）如图所示,在方格纸中，以AB为一边作^ABP使之与△ABCir等，从P,R,P3,P4四个点中找出符合条件的点 P,则点P有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45。，则这个三角形是 （ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【拓展探究】.如图所示，点D是△ABCft一点，AB=AC/1=/2.求证AD平分/BAC..等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为 15cm和11cm两部分，求此三角形的底边长.【答案与解析】1.68（提示：等腰三角形的两底角相等.）15（解析：腰长是6,底边长是3,故周长为6+6+3=15.）154.55（解析：易求出/CFR35°,因为AB=AC所以/B=/C=55°,从而求出/A=70°,再根据四边形内角和是360°可求出/EDf=55.）8（解析：由勾股定理可求.）BBDC（解析：要使△AB%△ABC^等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，故点R,R,P4均符合条件，共3个.故选C）D（解析：有一个底角为45。的等腰三角形是等腰直角三角形 .）证明：.一/1=72,BD=DC.AB=ACAD=AD. ADB^△ADC.，/BAD=/CAD即AM分/BAC.提示：分两种情况，底边长为6cm或cm.@教学反思,，二成功z处本节通过学生对已学知识的回顾，经历了“探索一一发现一一猜想一一证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生发挥了主体作用，取得了较好的教学效果.注重在学期初对以往知识的整合和串联，从整册教材的角度构想本课时的教学 .不足之处在具体活动中，如何在学生活动与结论总结之间建立一个恰当的衔接 ，各部分时间比例的分配需要根据班级学生具体状况进行适度地调整 ^♦再教设计_在等腰三角形的性质定理的运用上，让学生猜想、实践、探索、反思，提出自己的见解在教学中鼓励学生积极合作，充分交流，感受学生在学习活动中获得成功的喜悦，促使学生学习方式的改变.旧教材习题解等随堂练习（教材第3页）.提示：（1）70°. （2）36°..（1）证明：..BGCDACACZAC&ZACD90,• AC望△ACRSAS）,，AB=AD即4ABD是等腰三角形.（2）提示:90。.习题1.1（教材第4页）.已知已知公共边SSS全等三角形对应角相等.证明：.BE=CFBGER在△ABC^△DEF中，AB=DEAC=DF,BC=ER/.△ABC2△DEF././A=ZD..解：ABACADLBC，/BAD：/CAD.「/BAB108, BAD=X108=54°..解：/BAB/CAD/BEA：/CEA/ABE：/ACE/BEB/CED/EBB/ECDZBDE:ZCDE/ABC/ACB由图中易得△AB四AACIDAABE!^AACE△BE"ACED继而得到以上各组相等的角..已知：如图所示，在等腰三角形ABC^等腰三角形DEF中，/A=/DBGEF.求证△AB（^ADEF.证明：.「△ABC^△DEF都是等腰三角形，ZA=ZD,/B=ZE,ZC=ZF,/BC=EF,「.△AB室△DEFAAS或ASA）..解：BD=CE证明如下：如图所示，过点A作AF±BC于点F,•••ABACBF=CF•AD=AEDF=EFBD=CE.a力*ec日备课资源,，教堂建议在“八年级上册第七章平行线的证明”中，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，得出了一些基本的证明方法并积累了一定的证明经验；在七年级下册的学习中，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题 ，这些都为证明本节有关命题做了铺垫.本节回顾了判定三角形全等的有关定理 ，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的性质定理.由于具备了上面所说的活动经验和认知基础 ，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明.如图所示,已知/A=15°,AB=BGCHDE=EE求/DEF的度数.解：♦./A=15,AB=BC=C号DE=EF・・・/CBD/BAG/BCK30,・•/BCD120,•/DCE/CEB180°-15°-120°=45°,・./EDF：/A+/AEB15+45=60,・•./DEI=60.如图所示，在等腰三角形ABC43,AB=ACAE//BC.求证AE平分/DAC.证明：ABACB=ZC..AE//BC./C=ZEAC/B=/DAE.•/DA曰/EAC・AE平分/DAC.课时电教堂目标使学生能用多种方法证明等腰三角形两底角的平分线相等I1过程写方法1引导学生分析几何证明题的思路 ，并掌握证明的基本步骤和规范的书写格式I,静态度写价面见1经历作辅助线的证明过程，进一步增强学生的合情推理意识，培养主动探究的习惯，进步体会数学与现实生活的紧密联系 .♦教学重难点,■■,_■■【重点】 等腰三角形的性质.【难点】 命题书写的格式.教学准备【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习等腰三角形的性质.旧教学茎程/新课导入导入一：在等腰三角形中彳^出一些线段(如角平分线、中线、高等工你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？试作图，写出已知、求证和证明过程.还可以有哪些证明方法？TOC\o"1-5"\h\z通过学生的自主探究和同伴的交流后得出 ：等腰三角形两底角的平分线相等 ；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等.并对这些命题给出多种方法的证明 .［设计意图］让学生再次经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程 ，进一步体会证明的必要性，感受证明方法的多样性.导入二：在回忆上节课学习的等腰三角形性质的基础上 ，在等腰三角形中彳^出一些线段(利用多媒体课件演示)，观察后解答下列问题：TOC\o"1-5"\h\zM 0c. ** ，《■喉靠的F分线》《西海t的中统,《苒胎上的高j(1)你能从图中发现一些相等的线段吗 ？(2)你能用一句话概括你所得到的结论吗 ？(3)你能结合图形分别写出已知、求证和证明过程吗？［设计意图］通过知识的回顾，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广 ，有助于培养学生自主提出问题的能力 .、等腰三角形的性质［过渡语］ 同学们对于“等腰三角形两底角的平分线相等”我们如何来证明呢A(教材例1)证明：等腰三角形两底角的平分线相等 .已知：如图所示,在△ABC^,ABACBD和。蕾△ABC勺角平分线.求证：BD=CE.证法1:.ABAC/AB(=ZACB等边对等角).BDCE分另1J平分/ABC^/ACB./1=/ABC/2=/ACB1=Z2.在△BDG口△CEB43,/ACBZABCBGCBZ1=Z2,.△BDC^△CEBASA).BD=CE全等三角形的^•应边相等).证法2:•••ABAC/ABB/ACB.••BDCE分另ij平分/AB/口/ACB./3=/ABC/4=/ACB・・/3=/4.在△AB丽△AC计,/3=/4,AB=AC/A=/A..△AB坐△ACEASA).BD=CE全等三角形的^•应边相等).在证明过程中，学生的思路一般还较为清楚，但严格证明表述经验尚显不足，因此，教师应注意对证明过程提出一定的要求，可以让学生板书其中部分证明过程或借助多媒体课件展示部分证明过程.同时注意对证明有困难的学生给予帮助和指导 ^如何证明等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高线也分别相等呢 ？同学们可以自己来证明.(补充例题)如图所示，在等腰三角形ABC^,AB=AC.(1)如果/ABD：/ABC/ACE/ACBS?由此，你能得到一个什么结论？(2)如果AD=ACAE=AB那么BD=CE吗？如果AD=ACAEAB呢？由此，你能得到什么结论？解:(1)BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的平分线相等类似 .证明如下：••ABAC/ABC/ACB等边对等角)./AB®/ABC/ACE:ZACB•/ABB/ACE.在△BDAF口△CEA^,./ABB/ACEBA=CA/A=/A.△BDA2△CEAASA).BD=CE全等三角形的^•应边相等).由此我们可以发现：在△ABC43,ABAC/ABB/ABC/ACE：/ACB就一定有BD=CE成立(n>1).（2）在△ABC中,AB=AC如果AD=ACAE=AB那么BD=CE如果ADACAE=AB那么BD=CE.由此我们得到了一个结论：在△ABC43,AB=ACA摩ACAE=AB那么BD=CEn>1）.证明如下：.AB=ACAD=ACAEAB••.ADAE.在△ADBF口△AEC43,ABAC/A=/AA3AE・.△ADB^△AECSAS）.BD=CE全等三角形的^•应边相等）.［设计意图］提高学生解决变式问题的能力，并培养学生学习的自主性.二、等边三角形的性质［过渡语］同学们还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗 ？请同学们在等腰三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质.定理：等边三角形的三个内角都相等 ，并且每个角都等于60。.已知：如图所示，在△ABC43,AB=AC=BC.求证：/A=/B=/C=60°.证明：.「ABAC.•・/B=/C（等边对等角）.又AGBQ已知），.•・/A=/B（等边对等角）.../A=/B=/C.在△ABC43,/A+/B+/C=180。，ZA=ZB=ZC=60.［设计意图］让学生规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等 ，并且每个角都等于60。”的证明过程.3课堂小结TOC\o"1-5"\h\z.等腰三角形两底角的平分线相等 ..等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°M检测反馈.等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（ ）A.80° B.80°或20°C.80°或50° D.20°解析：这个角可能是顶角也可能是底角 .故选B..（2015•衡阳中考）已知等腰三角形的两边长分别为 5和6,则这个等腰三角形的周长为（ ）A.11 B.16 C.17 D.16或17解析：分两种情况：当三边长为5,5,6时，周长为16;当三边长为5,6,6时，周长为17.故选D..如图所示，在△ABC中，AB=ACDE//BC若/ADE48。，则下列结论中不正确的是（ ）(T \A./B=48 B./AE摩66C.ZA=84 D./B+/O96。答案:B.如图所示，在△ABC43,AB=AC^ABC的外角/DAB130。，则/B=.解析：:ABACB=/C•••/DA6130,•./BAG50,•./C=ZB=65.故填65A7.如图所示，在△PBQ^,BP=6,点A,C,D分别在BPBQPQ上,且CD//PRAD//BQ/QDC/PDA则四边形ABCD勺周长为.答案：12.如图所示，在等腰三角形ABC^,AB=AC/A=36,BDLAC于点D则/CBD .解析：根据已知求得底角/AB©72。，再根据三角形内角和定理求得/ ABB54。，从而求得/DBC18。.故填18°.[5板书设计第2课时一、等腰三角形的性质.二、等边三角形的性质.6布置作业一、教材作业【必做题】教材第6页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第7页习题1.2的2,3题.二、课后作业【基础巩固】.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于A.顶角B.顶角的一半C.顶角的2倍D.底角的一半.已知一等腰三角形的两边长 x,y满足方程组则此等腰三角形的周长为 （ ）A.5 B.4 C.3 D.5或4.在等腰三角形ABN,ABAC其周长为20cm,则AB边的取值范围是（ ）A.1cm<AB^4cmB.5cm<ABd0cmC.4cm<A&8cmD.4cm<AB^10cm.如图所示，在△ABC中,ABAC点DE在BC上,连接ADAE若只添加一个条件使/DAB/EAC则添加的条件不能为 （ ）A.BD=CE B.AD=AEC.DA=DE D.BE=CD.（2014•苏州中考）如图所示，在△ABC^,AB=ACD为BC中点，/BAR35。，则/C的度数为（）A.35° B.45°C.55° D.60°【能力提升】.如图所示，△ABE等边三角形，AQ=PQPR=PSPRLAB于RPS±AC于S则下列四个结论正确的是 （ ）①点P在/BAC勺平分线上；②AS=AR③QP//AR④△BR用△CSP.A.全部正确 B.仅①和②正确C.仅②③正确D.仅①和③正确.在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60。，则另两个角是唯一确定的（60°,60°）,已知一个角是90°,则另两个角也是唯一确定的（45°,45°）,已知一个角是120。，则另两个角也是唯一确定的（30。，30。）.由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的 .马彪同学的结论是的.（填“正确”或“错误”）.如图所示，在等边三角形ABC^,AB=6,D是BC上一点，且BG3BD△AB堂点A旋转后得至ACE则CE的长度为..如图所示，已知AB//CDABAC/ABC68。，则/ACD

/\-T 3-【拓展探究】.如图所示,在△ABC中,ABACBD=BCAD=DE=BE求/A的度数.【答案与解析】B（解析：根据三角形内角和定理可求出 .故选B.）A（解析：先解方程组,求边长,要注意能否组成三角形.）B（解析:根据三角形的三边关系.）C（解析:根据三角形全等的判定定理.）C（解析：因为AB=ACD为BC中点，所以/BA02/BAB70。，所以/C的度数为55。.）A（提示：可证三角形全等.）错误（解析：这个角有可能是顶角也有可能是底角 .）29.44°（解析：根据等边对等角和两直线平行同旁内角互补求得/ ACB44。.）10.解：•••A摩DE=BEEB®/EDB/A=/DEA..BC=BQ..ZO/CDB「/DEA/EBD/ED=/A, EB摩/A.又/C=ZBDB/A+/EBDZA,..2X/A+ZA=180°,/A=45区1教学反思,，二成功2处本课时关注了问题的变式与拓广，引导学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生研究问题的能力、自主学习的能力 ，但也应注意根据学生的实际接受情况进行适度的调整.不足之处因为学生自主探索的经验较少，因而对一些学生而言，完成这节课的全部教学任务可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外.♦再教设计__在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范学生证明的书写格式.教材习题解答教材习题解答随堂练习（教材第6页）.解：如图所示，:BDCE分别是等边三角形ABCW中线，••.BDCE分别是/ABC/ACBW平分线，1=Z2=ZAB(=30,.••/BOE/1+/2=60。.，等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°..解：由已知条件D,E是BC的三等分点，有BD=DE=EC又.「△AD9等边三角形，AD=DE=AE/ADEZDA=/AED=60,，AD=BD，/B=ZDAB30,同理，得/EA(=ZC=30,. BAB/BAD/DAE/EAC=30+60°+30°=120°.习题1.2(教材第7页).解：ABAC/AB(=/C又BD=BC/BDCZC,•./AB(=/BDC/C.又.Bd分/ABC，/DBC/ABC在△DBO^,/DBCZC+ZBDC180,「./ABC/ABG/AB(=180,.,/ABG72°,../A=180°-72°-72°=36°..证明：..ABACAEAF../B=/C,ABAE=ACAE即EB=FC又;BD=DC-/EBW4FCDSAS),DE=DF..证明：.「△ABC^等边三角形，AC=BC/A=/BCA又;AD=CE-AAD(^ACEBSAS),CD=BE..提示：(1)可证明△BE室ADFC从而得到EC=FC.(2)相等.相等.如果==(nA1),那么EGFC.(3)如/DFG/BEC^/BC=/DC/.日备课资源①经典例题 ——― 第课时第课时如图所示，已知：l//m等边三角形ABC勺顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°,求/”的度数.解：过点C作CE//直线m(如图所示)•••|//ml//rn//CE・・•/AC巨/a,/BCE：/CB=20.在等边三角形ABC43,/ACB60,.•/a+/CBF=/ACB=60,./a=40.

©整体设计教学目标.理解等腰三角形的判定定理.理解等腰三角形的判定定理.了解反证法的基本证明思路I疝识写技能r,并会运用其进行简单的证明，并能简单应用.探索等腰三角形的判定定理培养学生的逆向思维能力探索等腰三角形的判定定理培养学生的逆向思维能力F过程写力法|I情感仓度与价伯观|"上教曼重难史_【重点】【难点】【重点】【难点】等腰三角形的判定定理反证法.教学准备【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习上节学习的等腰三角形中相等的线段目_教学过.新课导入导入一：师：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质 ？生1：等腰三角形两底角相等，可以简述为：“等边对等角”.生2:等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 .简述为：“三线合一”.生3：等腰三角形两腰上的高线相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等.师：非常好！同学们概括得很全面.那么对于等腰三角形的性质定理 ：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论分别是什么 ？生：条件是等腰三角形的两个底角 .结论是两底角相等.师：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗 ？在一个三角形中，如果两个角相等那么这两个角所对的边也相等 ，对吗？生：完全成立，可以证明出来.师：这就是我们这节课要学习的内容.［设计意图］设计成连续的问题是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔 .学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段 .导入二：下列问题，要求学生独立思考后再进行交流.【问题1】等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的条件和结论分别是什么 ：【问题2】我们是如何证明上述定理的？【问题3】我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗 ？在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，对吗？［设计意图］引导学生做逆向思考：“如果将等腰三角形的性质反过来，那么它是否依旧成立？”自然引入新课.隆新知构建一、等腰三角形的判定定理［过渡语］以前我们通过改变问题的条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以交换命题的条件和结论“反过来”思考问题 ，这也是获得数学结论的一条途径.比如“等边对等角”，反过来成立吗？也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？下面我们一起证明这个结论.先请同学们画出图形，写出已知、求证.证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形 .已知：如图所示,在△ABC^,ZB=ZC.求证AB=AC.师：同学们完成得很好，下面怎样来完成证明过程呢？（停顿一下，给学生思考时间.）同学们回想一下，我们是怎样证明“等边对等角的” ？生1：作辅助线构造两个全等的三角形 ，使AB与AC成为对应边就可以了.生2:类比前面定理的证明的方法，猜想通过作BC边上的中线，或作/A的平分线，或作BC边上白^高，都可以把△ABO成两个全等的三角形.师：很好！同学们可在练习本上尝试一下是否可行 ，我现在把大家分成三大组，请写出三种证明过程来.【学生活动】 分三组，用三种作辅助线的方法写过程.生（举手）：老师，不对，我们没法做.我们组发现，如果作BC边上的中线，虽然把^ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等 .因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等 ，这是“SSA',是不能够判定两个三角形全等的.其他两组的方法是可行的.（全班恍然大悟）/；\

/:\；rfyc师:哈哈！你们组思考得很认真.生1:证明：作ADLBC于点D.（如图所示）在△AB丽△AC斗,・/B=/C/BDA/CDAADADMB"△ACE（AAS）.•••ABAC（全等三角形的^•应边相等）.生2:作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.（如图所示）在△AB丽△AC加,・/B=/C/BAR/CADADADMB"△ACE（AAS）.ABAC（全等三角形的^•应边相等）.从而得出等腰三角形的判定定理 ：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 .这一定理可以简述为：等角对等边几何语言：在△AB8, 氏/q已知），AB=Aq等角对等边）.（教材例2）已知：如图所示，AB=DCBD=CABD与CA相交于点E,求证△AED^等腰三角形.证明：.AB=DCBD=CAAD=DAMB"△DCASSS）.•••/ADBZDAC全等三角形的^•应角相等）.，AE=DE等角对等边）.•••^AED^等腰三角形.［设计意图］引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线 ，使学生思考证明“等角对等边”既可以作底边上的高线也可以作顶角的平分线 ，但不适合作底边上的中线.同时，加强规范学生的书写格式，鼓励学生一题多解.二、反证法［过渡语］如果否定命题的条件，是否也能获得一个数学结论？我们一起来“想一想”.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？有学生提出：“认为这个结论是成立的.因为画了几个三角形，观察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等.但要像证明“等角对等边”那样证明却很难 ，像这种从正面入手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢 ？我们来看一位同学的想法：如图所示，在△ABN,已知/Bw/C此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC那么根据“等边对等角”定理可得/ C=/B,这与已知条件"/Bw/C'相矛盾，因此A回AC.你能理解他的推理过程吗？这位同学在证明时，先假设命题的Z^论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.（教材例3）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 .已知：△ABC.求证：/A/B,/C中不能有两个角是直角.证明：假设/A/B,/C中有两个角是直角，不妨设/A和/B是直角，即/A=90°,/B=90°,于是/A+/B+/C=90°+90°+/0180°.这与三角形内角和定理矛盾，因此“/A和/B是直角”的假设不成立.TOC\o"1-5"\h\z所以，一个三角形中不能有两个角是直角 .［设计意图］让学生明确当用综合法证明命题行不通时 ，我们要有探究一种新方法的欲望，结合教材中小明的想法，初步感受反证法，体会反证法在证明中出乎意料的作用 .［知识拓展］等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆的 ，解有关等腰三角形问题时等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑的线段 .亘课堂小结.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形 .（等角对等边）.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.且检测反馈TOC\o"1-5"\h\z.已知：如图所示,OC平分/AOBCD/OB若0a3cm,则CD等于 （ ）4zF产 HA.3cmB.4cmC.1.5cmD.2cm答案:A.（2015•西安中考）如图所示，在△ABC43，/A=36°,AB=ACBD是△ABC勺角平分线.若在边AB上截取BE=BC连接DE则图中等腰三角形共有 （ ）A.2个B.3个C.4个D.5个解析：・・•△ABC^等腰三角形，ZA=36,AB0/C=72°,.「BD是△ABC勺角平分线，丁./ABB/CBB36。，「.△ABM等腰三角形，△BCM等腰三角形.可得BE=BC=BD，△BDE为等腰三角形.•「/AE!=108°,「./EA!=/EDA36。，.•.△AED为等腰三角形.故选D.如图所示，在△ABCP,/ABC</ACB勺平分线交于点F,过点F作DE/BC交AB于点D交AC于点E,那么下列结论：BD时△CEFIB是等腰三角形；②DE=BDnCE（3）AADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF.其中正确的有 （ ）A.①②③B.①②③④C.①② D.①解析：可证明^BDF^CEFWB是等腰三角形，得①②③正确.故选A..用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中 ，至多有一个锐角”的第一步是.答案：假设三角形的三个外角中，有两个锐角.已知八口是^ABC勺外角/EAC勺平分线，要使AD//BC则^ABC勺边一定满足.解析：根据等腰三角形的性质可知AB=AC.故填ABAC..在AABC^，/C=/B,DE分别是ABAC上的点，AE=2cm,且DE//BC则AD=.解析：可证△ADE1等腰三角形，AD=AE=2cm.故填2cm..如图所示，已知ABACE,D分别在ABAC上,BD与CE交于点F,且/ABB/ACE求证BF=CF.证明：连接BCAB=AC・•/ABB/ACB../ABB/ACE,・•/FBC：/FCB•.FB=FC.f\8.如图所示,在△ABC43,BA=BC点D是AB延长线上一点，DF!AC于F交BC于E,求证△DB9等腰三角形.证明：:BA=BCA=/C..DFLAC/C+ZFEG90,/A+ZD=90°.・•/FEB/D../FEB/BED•••ZBER/D.BD=BE即4DBE^等腰三角形.f5板书设计第3课时一、等腰三角形的判定定理二、反证法褥布置作业一、教材作业【必做题】教材第9页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第9页习题1.3的1,2题.二、课后作业【基础巩固】TOC\o"1-5"\h\z.如图所示，在△ABC^,ABAC点D在AC上，且BD=BC=AD则/A等于( )A.30° B.40°C.45° D.36°.在等腰梯形ABC珅,/ABC2/ACBBD平分/ABCAD//BC则图中的等腰三角形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个.如图所示,在四边形ABCM,已知AD//BCBC=8cm,CD=6cm,DE平分/ADC^BC边于点E则BE等于 （ ）A.2cm B.4cmC.6cm D.8cm1 jjIHf.下面三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 ；④有一个角为60。的等腰三角形.其中是等边三角形的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个【能力提升】.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于 60。”时，第一步应假设..等腰三角形的顶角 a>90。，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么a的度数为..如图所示，四边形ABC面对角线AC与BD相交于O点，/1=/2,Z3=Z4.求证:⑴AAB(C^AAD(C(2)BODO.fi~t c.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时 ，画出图形，如图所示，写出已知、求证.她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：过点A作BC的中垂线AD垂足为D.彬彬：作△ABC勺角平分线AD.数学老师看了两位同学的辅助线作法后 ，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要改正.”⑴请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里 ；(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程.【拓展探究】.如图所示，口为^ABCW边AB的延长线上一点，过点D作D"AC垂足为F,交BC于E,且BD=BE求证△ABC是等腰三角形..如图所示,在^ABB，/ACB90°,CCLAB于点D点E在AC上,CE=BC过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F,求证AB=FC.■*f：（'【答案与解析】.D（解析：由A3BD得/A=/ABD所以/BDG2/A由BD=BC得/C=/BDC2/A.由AB=AC得/ABB/C=2/A由三角形内角和定理，得/A+2/A+2/A=180°,即/A=36°,故选D.）.D（解析：△ABD^ACD^AOD△BOCTB是等腰三角形，共4个.故选D.）.A（解析：由DE平分/ADC得/ADE:/CDE由AD//BC得/ADE：/CED，/CEB/CDEEC=DG6cm,/.BE=BGEC=8-6=2（cm）,故选A）.B（解析：由等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为等腰三角形.）.三角形中没有大于或等于60。的角（或三角形的所有内角都小于60。）.108。（解析：画出图形，利用三角形内角和定理求解.）.证明：（1）在^ABCF口△ADO^J./1=/2,ACAC/3=/4, AB室△ADC.（2）由（1）知ABAD/1=/2,AGAO△AB拿△ADOOB=OD.8,解:（1）过点A作BC的垂线，不一定过BC的中点，如果连接点A和BC的中点D,则AD与BC不一定垂直.（2）已知：△ABC/B=ZC.求证：ABAC.证明：作△ABC勺角平分线AD则/BAD=/CAD/B=/CADAD△AB连△ACDAB=AC.9,证明：:DF!AC，/DFA/EFG90,../A+/D=90,/C+/1=90,../A+/D=/C+Z1.-.BD=BE.•-/2=/D［等边对等角）.•・・/1=/2,1=/D,A+/D=/C+/D,A=/C,AB=BC等角对等边）..•・△AB佻等腰三角形..证明：.FEIAC/ACB=90,../FE（=/ACB90,../F+/ECF=90..CDLAB，/A+ZECI=90,.•-/A=ZF.在△ABC^△FCE中，/A=/F,/ACB/FECBGCE，△ABC^AFCEAB=FC.旧教堂反第,♦।成功之处学生在本课时的数学试验中，体验到学习数学的乐趣；在独立思考中，体验到数学知识的奥妙；在合作交流中，体验同学之间的友谊；在尝试完成例题中，体验成功的喜悦.,4।不足之处学生思考问题的积极性不高，好多时候在探究时没有动手与动脑相结合 ，光看不动，很多结论都没有自己探索出来再教设计课堂上出现新的情况、新的问题不能按计划进行时，要随时调整.虽然学生自主探究过程会影响教学进度，但经历了知识的形成和发展过程，能达到更深刻地理解，这也是平时教学时要注意的地方.同时，课堂练习也是非常重要的，因此再教时应该加强习题的演练.区1教材习题解答随堂练习（教材第9页）.解：4BD既等腰三角形.理由如下：.「ED//BCEDB/DBC又BD平分/ABC，/DB（=ZEB［；）..ZED&ZEBD..BE=EQSPABD蕾等腰三角形..证明：假设这五个正数都小于，则这五个正数的和小于1,这与已知五个正数的和等于 1相矛盾，因此假设不成立，所以这五个正数中至少有一个大于或等于 .习题1.3（教材第9页）.证明：・.AD//BC，/1=/B,/2=/C.又../1=72,/B=ZC,•.ABAC..证明：.「ABAC，/氏/C又;EP!BC,FB印△EPO直角三角形，在Rt^FBP中,/B+/BFP=90,同理在RtAEPC^,/C+/E=90,../BFP=/E,又「/BFP=/EFA，/EF/=ZE,AE=AF即△AEF是等腰三角形..提示：（1）这样的等腰三角形有两个，一个是以/“为顶角，另一个是以/a为底角.（2）这样的等腰三角形只有一个，是以/a为顶角的等腰三角形..解:NBC84,/NA042,，BC盒42.「.BC=BA=18X10=180（kn）.，从B处到灯塔C的距离是180kn.区1_备课资.教要建议通过前面几课时的学习，学生已经掌握了等腰三角形的相关性质 ，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤.为学习等腰三角形的判定定理奠定了基础 .本节课的主要任务是探索等腰三角形的判定定理 ，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考、猜想新的命题，并进行证明.这样可以提高学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一 ^如图所示，在△ABCP,AB=AC在AC上取一点P,过P点作EFLBC交BA的延长线于点E,垂足为点F.求证AEAP.证明：.「ABACB=/C・・・/日/E=90°,. C+ZE=90°.•••/FP(+ZC=90,../E=ZFPC../FPCfZAPEZE=/APE.•.AE=AP.第口课时

©整体设计

教学目标

「知识写期n.进一步学习证明的基本步骤和书写格式..掌握与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理 ^让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式.I '例颤］经历作辅助线的过程，进一步增强学生的合情推理意识，培养学生养成主动探究的习惯进一步体会数学与现实生活的紧密联系 .由教学重难点【重点】 等边三角形的判定定理.【难点】 直角三角形的性质定理.6教学准备【教师准备】【学生准备】多媒体课件【教师准备】【学生准备】复习等腰三角形的判定定理和反证法E教学过程导入一：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？生1：等腰三角形已经有两条边相等 ，我认为只要腰和底边相等，此时的等腰三角形就是等边三角形.生2:等边三角形的三个内角都相等 ，并且每个角都等于 60。.我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,此时的等腰三角形就是等边三角形 .(此时，部分同学同意上述看法，部分同学不同意，引起激烈地争论.教师可请一名学生充分发表自己的看法)生3：我不同意第二位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形根据等角对等边，三个内角都是60。，所以它们所对的边一定相等 .但这一问题中“已知三角形是等腰三角形，满足什么条件时是等边三角形” ，我觉得给的条件太多，浪费！师:(1)给三个角都是60°,这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？同学们可在小组而交流自己的看法 .(2)你认为有一个角等于 60。的等腰三角形是等边三角形吗 ？能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流.［设计意图］设计成问题串是为引出等边三角形的判定定理埋下伏笔 .学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段 .导入二：.已知：/ABC/ACB勺平分线相交于点F,过F作D日/BC交AB于D交AC于E.(1)找出图中的等腰三角形；(2)找出BDCEDE之间存在的数量关系；(3)证明以上结论..复习关于反证法的相关知识.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60。.证明：假设在一个三角形中没有一个内角小于或等于 60°,即都大于60°.那么，这个三角形的三个内角之和就会大于 180。.这与定理“三角形的三个内角之和等于 180。”相矛盾，因此假设不成立，故原命题正确.［设计意图］通过对上节课内容的复习，加深了学生对知识的掌握，同时为新知识的引入做好了准备.垣新知构建一、证明定理思路一TOC\o"1-5"\h\z［过渡语］ 同学们，下面我们来研究如何判定一个三角形是等边三角形 ？教师概括出等边三角形的判别条件 ，并引导学生总结出下表：性质判定的条件等腰三角形(含等边三角形)等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合后两个角相等等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°三个角都相等的三角形是等边三角形TOC\o"1-5"\h\z［学生总结］.顶角是60。的等腰三角形是等边三角形 ；.底角是60。的等腰三角形是等边三角形 ；.三个角都相等的三角形是等边三角形 ；4.三条边都相等的三角形是等边三角形 .［教师总结］得到下列定理.定理三个角都相等的三角形是等边三角形 .定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 .我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形 ：有一个角等于30°的直角三角形.拿出三角尺，做一做：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你白^理由.总结出定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.A一十一步已知：如图所示,△ABC^直角三角形，/ACE=90°,/BAC30.求证BGAB.〔解析〕 从拼三角尺的过程中得到启发 ,延长BC至D,使C®BC连接AD.证明：延长BC至D使CD=BC连接AD（如图所示）.••/ACB90,/BAC=30,••/ACD90,/B=60.ACAC..△AB室△ADCSAS）.•.ABAD全等三角形的又•应边相等）.•.△ABD^等边三角形（有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形）...AB=BD=AD.BC=BD=AB.［设计意图］让学生经历定理的探究证明过程，提高学生的自主探究能力.思路二［过渡语］同学们，你认为有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形吗 ？你的证明思路是什么？定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图所示，在△ABC43,ABAC且有一个角等于60°.求证△ABC是等边三角形.证明：当/A=60°时，•ABACB=ZC=60,「.△ABB等边三角形；当/B=60°日,.ABACB=ZC=60,.•・/A=60°..•.△ABC^等边三角形.用两个含30。角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你白^理由.由此你能想到，在直角三角形中，30。角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系 ？能证明你的结论吗？定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半已知：如图所示,△ABC^直角三角形，/ACB90。，/BAC30。.求证BGAB.〔解析〕 从拼三角尺的过程中得到启发，延长BC至D,使CD:BC连接AD.证明：延长BC至D使CD=BC连接AD（如图所示）.••/ACB90,/BA（=30,••/ACD90,/B=60..ACAC..△AB室△AD（SAS）.•.ABAD全等三角形的又•应边相等）.・•.△ABD^等边三角形（有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形）..AB=BD=AD.BGBDAB.［设计意图］通过严格的推理证明，让学生掌握几何证明题的步骤 ，并进一步培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系 .二、例题讲解 ［过渡语］前面我们学习了定理，下面我们看定理的一个应用.（教材例4）求证：如果等腰三角形的底角为15。，那么腰上的高是腰长的一半 .已知：如图所示，在△ABC^,ABACZB=15°,CD是腰AB上的高.求证CD=AB.证明：在△ABC^,.AB=AC/B=15,••ZACBZB=15（等边对等角）.♦/DAC/B+/ACB15+15=30 .••CD^IAB上的高，••/ADC90.•・CDAC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的半）..CDAB.亘课堂小结.等边三角形的判定定理TOC\o"1-5"\h\z三个角都相等的三角形是等边三角形 .有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形 ..直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半反检测反馈1.等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为 （ ）答案:答案:A2.等腰三角形的周长为等腰三角形的腰长为 （A.25cmB.35cm30cm,贝U30cm,贝U该）C.30cmD.40cm解析：根据等边三角形三边相等知底边长为 10cm.由等腰三角形两腰相等知一腰长为（80-10）+2=35（cm）.故选B..下列三角形：①有两个角等于 60°;②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形：④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有 （ ）A.①②③B.①②④C.①③ D.①②③④解析：根据等边三角形的判定方法知①②③④均正确 .故选D..如图所示，D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF则4DEF的形状是（）A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形解析：可证△ADg△BE坐△CFE得DF=DE=EF「.△DEF^等边三角形.故选A.J5板书设计第4课时、证明定理、例题讲解府布置作业一、教材作业【必做题】教材第12页随堂练习.【选做题】教材第12页习题1.4的1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】.若三角形中，三条中线都垂直于所对的边，则此三角形是 （ ）A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形.下列说法错误的是 （ ）A.等边三角形是等腰三角形B.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形C.有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形D.有两个内角分别是70。和40。的三角形是等腰三角形【能力提升】.AABC43,AB=AC/A=/C,则/B=..已知AD是等边三角形ABC勺高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F,则/AFE=..在△ABC43,ZB=ZC=15,AB=2cm,CD!AB交BA的延长线于点D,则CD的长度是..已知/AOB30。，点P在/AOB勺内部，R与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则R,OP2三点所构成的三角形是.【拓展探究】.如图所示,P,Q是△ABCiBC上的两点,且BP=PRQBAPAQ求/BAC勺度数..如图所示,△ABB等边三角形，点DEF分别在ABBCCA的延长线上，且BD=CE=AF.4DE他是等边三角形吗？为什么？.如图所示，AD=BD=CD试猜想△ABC是直角三角形吗？为什么？你从中能得到什么结论？【答案与解析】DC（解析：等腰三角形的顶角和底角不一定相等 .）60°（解析：AB=AC，/B=/C. A=/C, A=ZB=ZC,「.△ABB等边三角形，，ZB=60°.故填60°.）60°1cm（解析：根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ，得/DAC30,根据在直角三角形中如果有一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半知 CD=1cm）等边三角形（解析：根据对称可知OP=OP=OP/ROP=60°,所以△ROP是等边三角形.）解：•••PA=PQ=AQ已知），・•.△AP德等边三角形，AP@/PQA/QAR60。（等边三角形的三个内角都等于60°）..「PA=PB/B=ZPAB等边对等角）.又.一/B+/PAB=60,/PB盒/PAB=30,同理/QAC30.../BAC：/BAR/PAQ/QAC30+60°+30°=120°.解：ADEF^等边三角形.理由：ABB等边三角形，，/AB（=ZACB=ZBA（=60,AB=BGCA，/DB=/ECf=ZDAF=120,「BD=CE=AF，AD=BE=CF.，△BDEE^AAF四△CEF•.DE=FD=EF，△DEFM等边三角形.解：^ABB直角三角形.理由：.「AD=BD=CD，/A=/ACD/B=/BCD：「/A+/日/ACD/BCD180。，・••/ACD/BCB90。，即/ACB90。.故△AB佻直角三角形.从中得到结论：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半 ，那么这个三角形是直角三角形.区1教学反思,，二成功三处本节课难点在于 “在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角尺操作的实践活动，课堂上学生的思'维非常活跃，方法多样，取得较好的效果.■*不足之处在教学过程中，语言不够简练，尤其是对一些数学术语把握得不够准确 ，导致课堂教学时间不充足.,，再教设计在课堂教学设计中，让学生在“动手操作”的过程中 ，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，从而使课堂教学真正落实到学生的自主探究上 .13教材习题解答随堂练习（教材第12页）解：・./ACB90,/B=60,CD^△ABC勺高，・♦/BCD/A=30.•••BD=1,BG2,AB=4,「.ADABBD=3.习题1.4（教材第12页）.证明：•・•△ABC^等边三角形，且DE//BCADE=/B=60°,/AEB/C=60°,又•一/A=60°, AD蕾等边三角形..提示:BC=AB=x7.4=3.7（m）,DE=AD=x=1.85（m）..⑴提示：△DEF是等边三角形.点AB,C分别是EFEDFD的中点.证明略.（2）解：△ABB等边三角形.证明如下：=AB,C分别是EFEDFD的中点，，AB=FDAC=EDBGEF.又•••△DEF是等边三角形，FD=ED=EFAB=AC=BC即△ABB等边三角形..解：如图所示，在RtAABC^,ZC=90°,BC=AB.求证/BA（=30.证明如下：延长BC至点D使CD=B（连接AD..BOABBOCD/.BD=AB.又.ACLBD且AC平分BD，AB=AD，AB=BDAD即△AB比等边三角形，，/B=60，.在Rt△ABC43，/BA030..解：/ADG15。，证明如下：A'D=AD=2DC在Rt△A'DC中，利用“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°”可证明/DA'C=30,/ADA'=30,../ADG/A'DG=ZADA=15.日备课资源教要建议—在前面三个课时中，学生已经经历了独立探索发现定理的过程 ，并能基本规范地书写相关命题的证明过程，这些都为本课时进一步探索发现相关定理提供了知识基础和活动经验 .因此,本节课可以更多地让学生自主探索 .但第一个定理的证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类讨论思想；第二个定理的结论