河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

河北省石家庄市第四十四中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，则（

）A． B． C． D．2．已知O是所在平面内一点，且，那么（

）A．点O在的内部 B．点O在的边上C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部3．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．4．在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（

）A． B． C． D．5．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（

）A． B．C． D．7．在中，内角所对的边分别为a、b、c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（

）A． B． C． D．8．在中，，是的中点，与交于点，若，则（

）A． B． C． D．1二、多选题（本大题共3小题）9．(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（

）A．B．C．D．10．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B．若向量，共线，则点，，，必在同一直线上C．边长为的正方形中D．若点为的重心，则11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（

）A． B．若面积为，则周长的最小值为12C．当，时， D．若，，则面积为三、填空题（本大题共3小题）12．设与的夹角为60°，，，则．13．中，a，b，c分别是的对边，，则.14．在中，在上，且，在上，且.若，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知平面内两个不共线的向量，.（1）求；（2）求与的夹角.16．已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.(1)用、表示向量、；(2)若向量与共线，求的值.17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的长．18．已知扇形半径为1，，弧上的点满足.(1)求的最大值；(2)求最小值.19．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：(1)若，，求的坐标；(2)若，，且，求实数的值；(3)若，，求向量的夹角的余弦值.

参考答案1．【答案】D【解析】先求出的坐标，再通过可求出的坐标.【详解】又因为，所以，故选D.2．【答案】D【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．故选D3．【答案】B【详解】解：对于A，因为，,所以，故正确；对于B，因为,(为中点)，故错误；对于C，因为(为中点),(为中点),所以，故正确；对于D，因为，，所以，故正确.故选B.4．【答案】B【详解】，，，由正弦定理得，.故选B.5．【答案】B【详解】法一：由单位向量的夹角为，可得，．若向量与向量的夹角为锐角，则且向量与向量不共线．由，得；由向量与向量不共线，得，即．所以由向量与向量的夹角为锐角，得且．易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．法二：因为单位向量的夹角为，所以不妨令，，则，．因为向量与向量的夹角为锐角，所以，且，得且．当时，可得，此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．故选B．6．【答案】B【详解】如图，设外接圆半径，连接，在三角形中，的对角分别为，设点到三边的距离分别为，由锐角知均为正数，由外接圆知，所以，同理:，，所以，由正弦定理得，所以，又，所以，所以.故选B.7．【答案】D【详解】①∵，∴，又∵∴∴故①成立；②∵∴∴∴；故②成立；③∵∴∴∴；故③成立；④∵表示为边的单位向量，表示为边的单位向量，∴所以（）.表示，又∵，∴°所以为等边三角形故④成立.故选D.8．【答案】A【详解】∵，∴，∴.∵A，P，D三点共线，∴.∵，∴.∵E是边AB的中点，∴.∵E，P，F三点共线，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故选A.9．【答案】BD【详解】解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．故选BD．10．【答案】AD【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；对于选项C，边长为的正方形中，故C错误；对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选AD.11．【答案】ABD【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选ABD.12．【答案】【详解】解：．，．．．解得．13．【答案】【详解】因为，所以，即：，因为，所以，14．【答案】/【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，则，因为，所以，则.15．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）根据条件对的两边平方即可得出关于的方程，然后根据题意知，从而解出；（2）进行数量积的运算可求出和的值，然后即可求出的值，从而可求出和的夹角.【详解】解：（1），，，，且，解得；（2），，，且，.16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，所以，，因为，则，所以，.（2）解：因为，因为向量与共线，则存在，使得，即，所以，，解得.17．【答案】(1)；(2).【详解】(1)由AB∥CD可得，则，即，而，即有，在中，，所以；(2)由(1)知，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的长为.18．【答案】(1)(2).【详解】（1）由题设，构建如下图示的直角坐标系，且，设，，则，所以，，，由，得，即，，解