连续信号与系统频域分析

第3章连续信号与系统的频域分析3.0引言3.1信号的正交分解3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.5傅里叶变换的性质3.6周期信号的傅里叶变换3.7连续信号的抽样定理3.8连续系统的频域分析本章要求1、能用傅里叶级数的定义、性质和周期信号的傅里叶变化，求解周期信号的频谱。理解周期信号分解为正弦信号线性组合的物理含义和周期信号频谱的特点，并会绘制振幅及相位频谱图；2、利用傅里叶变换的定义、性质，求解非周期信号的频谱。利用常见信号的傅里叶变换对和傅里叶变换的性质，熟练求解信号的正、反傅里叶变换；3、了解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念；4、熟练计算周期信号和非周期信号激励下系统的响应。理解频率响应H(j)并根据H(j)对系统进行分类。理解无失真传输、理想低通滤波器的概念与物理含义，了解各种滤波器的含义，掌握有关信号滤波的计算；5、理解信号频谱搬移的概念，掌握一般信号调制、解调和压缩等的分析计算；6、理解并掌握抽样定理，计算抽样信号的频谱。了解信号的抽样与恢复过程。3.0引言LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号，或者说，信号用完备的正交函数集来展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变换域的区别就在于选取不同的正交完备集。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。3.1信号的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量

图3.1-1两个矢量正交两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零，即图3.1-2矢量的近似表示及误差所以最佳系数为若V1与V2正交，则θ=90°,cosθ=0，此时由式(3.1-2)得到的最佳系数c12=0。这表明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下：给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求误差矢量 的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。由式(3.1-2)可知，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。2.矢量的分解图3.1-3平面矢量的分解式中，V1·V2=0。图3.1-4三维空间矢量的分解上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第r个分量的系数3.1.2信号的正交分解1.正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。式中，“*”代表取共轭复数。将上式右边展开，得根据该式，上式中，据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。为使Ee最小，只有选择c12=B，于是有2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果则称该函数集为归一化正交(复变)函数集。

用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即这种近似表示所产生的平方误差为同样可以导出，欲使平方误差最小，其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取：此时的平方误差为(3.1-12)(3.1-13)用一正交矢量集中各分量的线性组合去表示任一矢量，这个矢量集必须是一完备的正交矢量集。同样，用一正交函数集中各函数的线形组合去代表任一信号，这个函数集也必须是一个完备的正交函数集。如果对某一类函数f(t)

，所选择的正交函数集｛gi(t)｝能使上式中的Ee等于零，则称正交函数集｛gi(t)｝对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。可以证明，如果｛gi(t)｝是完备的正交函数集，则再也找不到另外一个非零函数与该函数集中每一个函数都正交。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。定理3.1-1设｛gi(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合，即式中，ci为加权系数，且有式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。(3.1-14)(3.1-15)定理3.1-2在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即反映能量守恒。定理3.1-2有时也称为帕塞瓦尔定理。(3.1-16)例1已知余弦函数集{cost,cos2t,…,cosnt}(n为整数)(1)证明该函数集在区间(0,2π)内为正交函数集；(2)该函数集在区间(0，2π)内是完备正交函数集吗?(3)该函数集在区间(0，)内是正交函数集吗?由上例可以看到，一个函数集是否正交，与它所在区间有关，在某一区间可能正交，而在另一区间又可能不正交。另外，在判断函数集正交时，是指函数集中所有函数应两两正交，不能从一个函数集中的某n个函数相互正交，就判断该函数集是正交函数集。常见的完备正交函数集(1)三角函数集

在区间内，有

式中，(2)虚指数函数集在区间内，对于周期为的一类周期信号来说，也是一个完备的正交函数集。(3)函数集在区间(-∞，∞)内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。这里称为抽样函数。(4)沃尔什函数集Wal(k,t)在区间(0,1)内，对于周期为1的一类信号来说是一个完备的正交函数集。下图示出了前6个沃尔什函数波形。(5)勒让德多项式在区间(-1,+1)内构成一个完备正交函数集，即

此外，还有一些多项式也可构成正交函数集，例如雅可比多项式、切贝雪夫多项式等。3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.2.1三角形式的傅里叶级数三角函数集｛cosnΩt,sinmΩt|n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinmΩt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：上述正交三角函数集中，当n=0时，cos0°=1,sin0°=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为式中，Ω=2π/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。式(3.2-5)就是周期信号f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-∞,∞)区间也是成立的。三角形式一可得加权系数：例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。显然，an为nΩ的偶函数，bn为nΩ的奇函数，即三角形式二振幅相位余弦型傅里叶级数展开式三角型傅里叶级数展开式信号波形的对称性与傅里叶系数之间的关系奇函数在对称区间内积分为零。偶函数在对称区间内积分为半区间积分的两倍。则只含正弦项，奇函数，关于原点对称。0......（半波平移半周期两半周期波形重合）......（半波平移半周期关于横轴对称）根据周期信号的对称性与傅里叶系数的关系，可使求解傅里叶系数的计算量大大减少；也可以确定信号所含的频率分量的类别；对绘波形图也有作用。说明1：

一个周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫勒条件，可展开为三角型傅里叶级数。狄里赫勒条件：（实际遇到的信号都满足）1.一个周期内只有有限个不连续点；2.一个周期内只有有限个极大值、极小值；3.一个周期内绝对可积，即说明2：

一般要单独计算；表示的物理意义是周期信号的直流分量。若，则只可能在它的倍频上，如上才可能有频率分量。

、是n的函数，它一定不含有t。(对于一个确定的n来说,它是个常数不是t的函数)不必计算。例3.2-1求图示信号的傅里叶级数展开式。图3.2-1例3.2-1图解据式(3.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有这表明信号f(t)的直流分量为a0/2=E/2。考虑到上式中Ω=2π/T，则an=0。同样可得据式(3.2-10)有在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，则有周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。(A)余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。例1：偶函数：只含余弦项；半周重叠：只含偶次谐波和直流C例2：周期信号f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是______。(A)余弦项的奇次谐波，无直流(B)正弦项的奇次谐波，无直流(C)余弦项的偶次谐波，直流(D)正弦项的偶次谐波，直流。奇函数：只含正弦项；半周镜象对称：只含奇次谐波B例3：已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；解：波形纵轴对称；半周重叠。已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。

f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数同时有奇次谐波与偶次谐波；解：波形纵轴对称。3.2.2指数形式的傅里叶级数式中，T=2π/Ω为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数f(t)可在区间(t0,t0+T)内用此函数集表示为式中，相关系数Fn

指数傅里叶级数还可以从三角傅里叶级数直接导出。一般来说Fn亦为一复数，即一般情况下，是关于变量的复函数，常称为傅氏级数的复系数。记为（时域）

（频域）已知求称为正变换：反之，称为反变换：是一对变换对。n的取值范围与三角形傅氏级数不同说明：1、仍为直流分量，一般仍要单独计算；2、当为实函数时，，即与为一对共轭复数。有3、负频率的出现无物理意义，只是数学表达，同一值正负频率分量总是共轭出现，其和才是一个频率分量的值，有4、当是实偶函数时，则是实偶函数；当是实奇函数时，则是虚奇函数。强调：指数型和三角形两种傅氏级数的n，取值范围是不同的。3.3周期信号的频谱或3.3.1周期信号的频谱周期信号的复振幅 一般为nΩ的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。所谓振幅频谱为以ω为横坐标，以振幅为纵坐标所画出的谱线图；而相位频谱则为以ω为横坐标，以相位为纵坐标所得到的谱线图。在信号的复振幅 为nΩ的实函数的特殊情况下，其复振幅与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出。例3.3-1试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分别为二、三、六次谐波频率。且有其余图3.3-1例3.3-1信号的频谱振幅谱；(b)相位谱图3.3-2例3.3-1信号的双边频谱(a)振幅谱图3.3-2例3.3-1信号的双边频谱(b)相位谱3.3.2周期信号频谱的特点图3.3-3周期矩形脉冲信号为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。取样函数定义为这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即图3.3-4Sa(x)函数的波形图3.3-5周期矩形脉冲信号的频谱谱线间隔由图3.3-5可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐减小。当nΩ→∞时，|Fn|→0。图3.3-6不同τ值时周期矩形信号的频谱(a)τ=T/5;(b)τ=T/10脉冲宽度缩小一半谱线间隔不变第一个过零点增加一倍幅值减小一倍图3.3-7不同T值时周期矩形信号的频谱(a)T=5τ;(b)T=10τ

谱线间隔减小一倍第一个过零点不变幅值减小一倍

周期T扩展一倍周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，因而，常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为或3.3.3周期信号的功率周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号f(t)，无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(3.1-16))，有01231-1-3功率谱0.2501231-1-3功率谱仅与幅度谱有关，与相位谱无关。例：试计算图示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。1解：先在时域中求信号的功率：将f(t)展开为指数型傅里叶级数在频谱第一个零点以内的各分量的功率和为频谱第一个零点以内各分量的功率占总功率的90.3%3.4非周期信号的连续时间傅里叶变换3.4.1傅里叶变换对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(jω)，即非周期信号的傅里叶变换可简记为一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积，即要求形象地说，周期信号与频谱之间存在着一一对应的关系，即1T1/4时域：连续、周期频域：离散、非周期而非周期信号与频谱F(j)之间存在一一对应的关系：11/4时域：连续、非周期频域：连续、非周期傅里叶级数的物理意义：周期信号表述为无限多频率分量的离散和傅里叶变换的物理意义：非周期信号表述为无限多频率分量的连续和3.4.2非周期信号的频谱函数由非周期信号的傅里叶变换可知:频谱函数F(jω)一般是复函数，可记为习惯上将F(ω)~ω的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱(F(ω)并不是幅度!)，而将φ(ω)~ω曲线称为相位频谱，它们都是ω的连续函数。f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:式中：与周期信号的傅里叶级数相类似，F(ω)、φ(ω)与R(ω)、X(ω)相互之间存在下列关系：在f(t)是实函数时：(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的实函数，且为ω的偶函数。(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即3.4.3典型信号的傅里叶变换例3.4-1图3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为τ，高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。解门函数gτ(t)可表示为图3.4-1门函数及其频谱(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱例3.4-2求指数函数f(t)的频谱函数。图3.4-2单边指数函数e-αt及其频谱(a)单边指数函数e-αt;(b)e-αt的幅度谱其振幅频谱及相位频谱分别为解例3.4-3求图3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。图3.4-3双边指数函数及其频谱(a)双边指数函数；(b)频谱例3.4-4求图3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。图3.4-4例3.4-4图(a)信号f(t);(b)频谱(a>0)解图示信号f(t)可表示为例3.4-5求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。图3.4-5信号δ(t)及其频谱(a)单位冲激信号δ(t);(b)δ(t)的频谱解可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。根据分配函数关于δ(t)的定义，有例3.4-6求直流信号1的频谱函数。图3.4-6直流信号f(t)及其频谱(a)直流信号f(t);(b)频谱解直流信号1可表示为例3.4-7求符号函数Sgn(t)的频谱函数。考察例3.4-4所示信号f(t)当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。例3.4-4所示信号的频谱函数为 ，从而有图3.4-7符号函数Sgn(t)及其频谱(a)Sgn(t)的波形；(b)频谱例3.4-8求阶跃函数ε(t)的频谱函数。由阶跃函数ε(t)的波形容易得到解从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数，即图3.4-8阶跃函数及其频谱(a)ε(t)的波形；(b)频谱求傅里叶变换的思路四个基本信号的傅里叶变换二十一个常用信号的傅里叶变换所有信号的傅里叶变换利用傅里叶变换的性质利用已知信号推广求信号的傅里叶变换是一个难点,也是进入变换域分析的第一个积分变换!表3.1常用傅里叶变换对续表3.5傅里叶变换的性质根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分，即1.线性若且设a1,a2为常数，则有2.时移性若f(t)←→F(jω)，且t0为实常数(可正可负)，则有此性质可证明如下。例3.5-1求图3.5-1(a)所示信号的频谱函数。图3.5-1例3.5-1的图(a)f(t)的波形；(b)相位谱解3.频移性频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t,从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t的信号。因为调幅信号都可看成乘积信号矩形调幅指数衰减振荡三角调幅

例3.5-2求高频脉冲信号f(t)(图3.5-2(a))的频谱。图3.5-2高频脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)频谱解图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数gτ(t)与cosω0t相乘，即将频谱左右各移04.尺度变换当a>0时：

图3.5-3信号的尺度变换0.1-0.1图3.5-3(a)所示的信号f1(t),可写成宽度τ等于1的门函数，即

尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。在尺度变换性质中，当a=-1时，有也称为时间倒置定理。解此题可用不同的方法来求解。(2)先利用尺度变换性质，有5.对称性10000若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称

直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子我们知道图3.5-4取样函数及其频谱6.时域卷积在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中，求某线性系统的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t),则有在频域分析中，若知道F(jω)=F［f(t)］，H(jω)=F［h(t)］，则据卷积性质可知7.频域卷积应用频移性质，可知8.时域微分例如，我们知道 ,利用时域微分性质显然有此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数，对应于频域中用jω乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换，即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。此性质还可推广到f(t)的n阶导数，即9.时域积分时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。=0例3.5-4求图3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。解若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jωt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。将f(t)求导，得到图3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导，得到图3.5-5(c)所示的f2(t)，显然有图3.5-5梯形信号及其求导的波形据时移性质有图3.5-6另一种梯形信号12.帕塞瓦尔定理设,则在周期信号码傅里叶级数计论中，我们曾得到周期信号的帕塞瓦尔定理，即一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能量W为非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于是的偶函数，因而（35-19）还可写为非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在频率分量上的分布情况，与频谱密度函数相似，引入一个能量密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱G（）为各频率点上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部能量为与式（3.5-20）对照，显然有表3.2傅里叶变换的性质求信号的傅里叶变换。解：求信号的傅里叶变换。解：已知f(t)F(j)，求下列信号的傅里叶变换。解：3.6周期信号的傅里叶变换设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级数分析，可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即例3.6-1求图3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(jω)。图3.6-1周期矩形脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)复振幅Fn;(c)频谱函数F(jω)解周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为例3.6-2图3.6-2(a)为周期冲激函数序列δT(t)，其周期为T，δT(t)可表示为

m为整数图3.6-2周期冲激序列及其频谱解先求δT(t)的复振幅Fn：设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到已经知道周期信号的频谱是离散的，它集中在基频和它所有谐波频率上。也可以说明，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。傅里叶级数频谱图中每根谱线为有限值，大小代表指数分量的振幅傅里叶变换频谱图中谱线为冲击函数，代表的是频谱密度函数。无论是根据傅里叶系数画出的幅度谱、相位谱，还是根据傅里叶变换画出的频谱图，都同样表明了信号具有哪些频率分量，每个频率分量振幅的大小和初相位。现实中存在的大多都是连续信号(如速度、温度、压力等)，而计算机处理的则是离散信号。对连续信号进行抽样就可得到离散信号。在什么条件下抽样信号能够保留原连续信号中的信息量而不受损失。这由抽样定理来保证。3.7连续信号的抽样定理电影是连续画面的抽样：

电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会感觉到是原来连续活动景象的重现。印刷照片是连续图象的采样：

印刷照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些采样点足够近的话，这幅印刷照片看起来就是连续的。抽样的意义：3.7.1信号的时域抽样定理图3.7-1信号的抽样图3.7-1所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽样脉冲序列PTs(t)的乘积，即式中的抽样脉冲序列PTs如图3.7-2所示。它实际上就是例3.6-1所讨论过的周期矩形脉冲函数，可表示为图3.7-2抽样脉冲序列PTs(t)图3.7-3理想抽样的过程及其有关波形1、理想抽样：根据频域卷积定理：从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率s2m，m为f(t)的频谱F(j)的最高频率。否则，s<2m，抽样信号的频谱会出现混叠。2、矩形脉冲抽样：根据频域卷积定理：从频谱图可以看出：要使各频移不重叠，抽样频率s2m，m为f(t)的频谱F(j)的最高频率。否则，s<2m，抽样信号的频谱会出现混叠。时域抽样演示：频谱演示：1.抽样定理连续时间信号f(t)的时域抽样定理可表述为：在频率fmHz以上没有频谱分量的带限信号，由它在均匀间隔上的抽样值惟一地决定，只要其抽样间隔Ts小于或等于 。由抽样定理可知，要求被抽样的信号f(t)为带限信号，即频带有限的信号。其最高频率为fm，最高角频率ωm=2πfm，即当|ω|＞ωm时，F(jω)=0。图3.7-4带限信号及其频谱带限信号的概念示于图3.7-4。设信号f(t)为带限信号，其最高频率分量为fm，最高角频率为ωm=2πfm，即当|ω|＞ωm时，F(jω)=0。带限信号f(t)的波形及频谱示于图3.7-5(a)中。图3.7-5信号的抽样及其频谱例1：若电视信号占有的频带为０～６ＭＨz，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条水平扫描线，则每条水平线至少要有______个抽样点。(Ａ)625(Ｂ)768(Ｃ)1250(Ｄ)15625B例2：对带宽为20kHz的信号f

(t)进行抽样，其奈奎斯特间隔Ts=______s；信号f

(2t)的带宽为_______kHz，其奈奎斯特频率f

s=______kHz。对f

(2t)：f

m=220=40kHz,f

s=2f

m=80kHz,信号在时域压缩，在频域则扩展。254080对f

(t)：f

m=20kHz,f

s=2f

m=40kHz,例3：信号频谱所占带宽(包括负频率)为______1/s，若将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，最低抽样频率fs=______Hz，奈奎斯特间隔Ts=______s。200100//100根据对称性：令=200有：2.f(t)的恢复由图3.7-5(c)所示样值函数fs(t)及其频谱Fs(jω)图形可知，样值函数fs(t)经过一个截止频率为ωm的理想低通滤波器，就可从Fs(jω)中取出F(jω)，从时域来说，这样就恢复了连续时间信号f(t)。即式中，H(jω)为理想低通滤波器的频率特性。H(jω)的特性为(3.7-7)由式(3.7-7)可知:据傅里叶变换的时域卷积性质，得式中，fs(t)为Fs(jω)的傅里叶反变换。图3.7-6f(t)的恢复原理由式(3.7-8)所表示的理想低通滤波器的频率特性可表示为ω的门函数的形式，如式(3.7-10)所示：应用傅里叶变换的对称性，得到当抽样间隔时，上式可写为f(t)的恢复式图3.7-7f(t)的恢复例1：如图(a)所示系统。已知，系统的频率特性如图(b)所示。为一个理想低通滤波器。(1)画出的频谱图。(2)若使包含的全部信息，的最大间隔应为多少?(3)分别画出在奈奎斯特频率及时的抽样信号的频谱图；(4)在情况下，若，则理想低通滤波器截止频率应为多少?幅频特性应具有何种形式?23.7.2周期脉冲抽样由于fs(t)=f(t)·PTs(t)，同样，根据傅里叶变换的频域卷积性质，可得图3.7-8矩形脉冲抽样f(t)的波形及其频谱；(b)PTs的波形及其频谱；(c)

fs(t)的波形及其频谱3.7.3频域抽样频域抽样定理的内容是：一个在时间区间(-tm,tm)以外为零的时间有限信号f(t)，其频谱函数F(jω)可以由其在均匀频率间隔fs上的样点值Fs(jnωs)惟一地确定，只要其频率间隔fs小于或等于下面从物理概念上对此作一简单说明。在频域对F(jω)进行抽样，相当于用F(jω)乘冲激函数序列δωs(ω)，而δωs(ω)所对应的时间信号也为一个冲激函数序列 。根据傅里叶变换的卷积性质可知，频域样值函数Fs(jnωs)对应的时间信号fs(t)为f(t)在时域的周期性重复，其周期为Ts。只要抽样间隔fs不大于，则在时域中波形不会发生混叠，我们用矩形脉冲作选通信号就可无失真地恢复出原信号f(t)。类似于式(3.7-13),当 时，存在下列关系式：图3.7-9频域抽样3.8连续系统的频域分析3.8.1基本信号ejωt激励下的零状态响应设线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，根据时域分析公式(3.8-1)，系统对基本信号ejωt的零状态响应为3.8.2一般信号f(t)激励下的零状态响应其推导过程如下：由此可得用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为：关键：的求取1.从微分方程直接求解；(方程两边取傅氏变换)2.从系统的冲激响应；3.设激励为求其响应；4.由电路模型求得注意！系统函数的定义是:

响应傅氏变换与激励傅氏变换之比例3.8-1已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，试求图3.8-1所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。图3.8-1例3.8-1的图注意到δ(ω)的取样性质，并为了较方便地求得UCf(jω)的逆变换，将UCf(jω)按如下形式整理:解：先