初中数学总复习课件第37课时

第37课时解直角三角形1.解直角三角形定义：在直角三角形中由已知元素求__________的过程.2.解直角三角形常用的数量关系：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则：(1)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝_____.未知元素90°(2)三边之间的关系：________.(3)边与角之间的关系：sinA＝cosB＝.cosA=sinB=,tanA=a2+b2=c23.实际问题中的常见术语.(1)仰角、俯角:在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线_____的叫做仰角.视线在水平线_____的叫做俯角.上方下方(2)坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示，即如果把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么1.在Rt△ABC中，∠C＝90°：(1)当c＝20，∠A＝60°，则a=_____；(2)当b＝35，∠A＝45°，则a=___；(3)当则∠A=_____.2.如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为___米.3530°3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB,CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是__m.44.如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，根据图中的数据(i=CE∶ED，单位：m)，得坝底宽AD=___m.15热点考向一解直角三角形【例1】(2012·安徽中考)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求AB的长.【思路点拨】过点C作AB的高CD，在两个直角三角形中解出AD，BD的长.【自主解答】过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∴AD=AC×cos30°=在Rt△BCD中，∵tan45°=∴BD=CD=∴AB=AD+BD=【名师助学】解直角三角形四种基本类型和解法已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A斜边c及锐角A∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA两边两条直角边a和b直角边a和斜边c热点考向二仰角、俯角【例2】(2013·兰州中考)如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧(点B，N，D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度．(参考数据：结果保留整数)【思路点拨】作AE⊥MN，CF⊥MN，设ME=x,在Rt△AME和Rt△CMF中用x表示AE，CF，通过AE+CF=BD建立方程，求得x的值，从而得MN的值.【自主解答】过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=AB－CD=1.7－1.5=0.2(米).在Rt△AEM中，∵∠MAE=45°，∴AE=ME.设AE=ME=x(不设参数也可)，∴MF=x＋0.2.在Rt△MFC中，∠MCF=30°，因为AE+CF=28，所以∴x≈10，∴MN≈12.答：旗杆高约为12米.【名师助学】仰角与俯角常见的两类基本图形1.存在一个30°的直角三角形和一个45°的等腰直角三角形(如图(1)(2)).2.存在两个30°的直角三角形和一个等腰三角形(如图(3)).热点考向三坡度、坡角【例3】(2012·内江中考)水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD，如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米.(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后大坝背水坡面DE的坡度.【思路点拨】(1)加固大坝的部分就是△DCE，过点D作垂直BC的辅助线，求得△DCE的面积，再乘以大坝的长.(2)坡面DE的坡度就是它的垂直高度与水平宽度的比值.【自主解答】(1)过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于H,∴AG=DH.在Rt△ABG中，AG=sin60°×AB=∴∴∴需要填土石方(2)在Rt△DHC中，HC=∴HE=HC+CE=24+8=32,∴加固后大坝背水坡面DE的坡度【名师助学】坡度与坡角问题需要注意的三个问题1.坡度是一个比值，而不是斜坡的角度.2.坡度反映了斜坡的倾斜程度.3.坡度涉及坡的铅直高度与水平宽度，所以常过坡的顶端向水平面作高.1.(2013·绵阳中考)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底端G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()【解析】选A.因为AB⊥BC,GF⊥BC,GB=GC,GF=15米,所以AB=CE=30米.在Rt△GFC中,∠FCG=60°，GF=15米,所以GC=GF·tan30°=米,所以米.在Rt△ACE中,CE=AE·tan60°=在Rt△ADE中,DE=AE·tan30°=(米)，所以CD=CE-DE=20米.【变式训练】(2012·孝感中考)如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为()【解析】选D.由题意知∠ADB=45°，∠ACB=30°，设AB=x米，则BD=AB=x米，BC=(100+x)米.在Rt△ACB中，∠ACB=30°，∴tan30°=即2.(2013·聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为则AB的长为()【解析】选A.根据坡比的意义可知BC∶AC=即6∶AC=所以AC=米.由勾股定理得==12(米).或者根据tanA=1∶则∠A=30°，根据“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可知AB=2BC=12米.3.(2012·毕节中考)如图,在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是()A.B.2C.D.4【解析】选A.∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD．∴∠ACD＝∠A＝30°．又∵∠ACD＝30°，∴∠BCD＝30°．在Rt△BCD中，∵tan∠BCD＝∴BC＝在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AC＝2BC＝4.(2012·深圳中考)小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A.米B.12米C.米D.10米【解析】选A．如图，延长BD与CE，交点为点A，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在Rt△DEF中，DE=4，∠DEF=30°，则DF=2，根据同一时刻，标杆与影长的比值为定值，可得解得AF=4，AC=CE+EF+AF=解得5.(2013·河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为()A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【解析】选D.由题意可知∠NPM=180°-40°-70°=70°，过点P的南北方向与MN平行，所以∠M=70°，所以∠NPM=∠M，所以PN=MN=40×2=80(海里).6.(2012·绍兴中考)如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°.(1)求一楼与二楼之间的高度BC(精确到0.01米).(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2，小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)？备用数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249．【解析】(1)∵sin∠BAC=∴BC=AB×sin32°≈16.50×0.5299≈8.74米.(2)∵tan32°=∴级高=级宽×tan32°≈0.25×0.6249=0.156225．∵10秒钟电梯上升了20级，∴小明上升的高度为20×0.156225≈3.12米.7.(2013·丽水中考)一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.【解析】连接AE，在Rt△ABE中，已知AB=3m，∴又∵tan∠EAB=∴∠EAB=30°.在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，∴EF=AE·sin∠EAF=×sin60°=答：木箱端点E距地面AC的高度EF是3m.8.(2013·安徽中考)如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC,坡角α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°.若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)【解析】过点A作AF⊥C