计算机图形学第六章

在当今的工程制造领域，计算机辅助设计/制造(CAD/CAM)占着重要的地位。曲线和曲面作为一门崭新的数学与计算机科学相交叉的边缘学科，近几十年来发展迅速，其应用领域日益广泛。本章简单介绍一些简单的曲线基本理论与方法，让同学们了解了解一些曲线的构造方法。第六章自由曲线CAD/CAMDassaultSystem公司的CATIACATIA系统设计的轮船boeing777CAD/CAMCAD/CAMCAD/CAMCAD/CAM工程图及其三维重建结果CAD/CAM用AutoCAD软件制作

三维实体模型CAD/CAM用AutoCAD软件制作三维实体模型1.概述2.Bezier曲线3.B样条曲线第六章自由曲线6.1概述曲线的分类规则曲线

具有确定描述函数的曲线，如圆锥曲线、正弦曲线、渐开线等。拟合曲线（不规则曲线或自由曲线）

由离散的特征点(或称为型值点)构造函数来描述的曲线称为拟合曲线，也称自由曲线。

这里的特征点是通过实验、测量或计算得到的。对于同样的特征点，由于构造函数的方法不同，因而出现了诸如最小二乘法拟合曲线、三次参数样条曲线、Bézier曲线、B样条曲线、非均匀有理B样条(NURBS)曲线等众多曲线。6.1概述

曲面也分为规则曲面和拟合曲面(不规则曲面)两大类。规则曲面就是具有确定描述函数的曲面，如二次曲面(圆柱、圆锥、圆球、双曲面、抛物面等)、螺旋面、直纹曲面、扫描曲面(旋转扫描面即旋转曲面、拉伸曲面)等，它们都是轨迹曲面。由离散特征点构造函数来描述的曲面称为拟合曲面，也称自由曲面，如Coons曲面、Bézier曲面、B样条曲面、非均匀有理B样条曲面等。研究分支计算几何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest给出正式定义CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美国Utah大学的一次国际会议上提出6.1概述研究内容对几何外形信息的计算机表示对几何外形信息的分析与综合对几何外形信息的控制与显示6.1概述对形状数学描述的要求？从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性（2）几何不变性对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。6.1概述（3）易于定界（4）统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库标量函数：平面曲线y=f(x)空间曲线y=f(x)z=g(x)矢量函数：平面曲线P(t)=[x(t)y(t)]空间曲线P(t)=[x(t)y(t)z(t)]6.1概述从形状表示与设计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达6.1概述自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法参数曲线基础（1/6）曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示参数曲线基础（2/6）参数表示参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]参数曲线基础（3/6）参数矢量表示形式例子：直线段的参数表示参数曲线基础（4/6）参数连续性传统的、严格的连续性称曲线P=P(t)在处n阶参数连续，如果它在处n阶左右导数存在，并且满足记号参数曲线基础（5/6）几何连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续称曲线P=P(t)在处0阶几何连续，如果它在处位置连续，即记为1阶几何连续称曲线P=P(t)在处1阶几何连续，如果它在该处,并且切矢量方向连续记为参数曲线基础（6/6）2阶几何连续称曲线P=P(t)在处2阶几何连续，如果它在处（1）（2）副法矢量方向连续（3）曲率连续参数表示的好处与非参数形式相比，参数形式具有以下优点:(1)能满足几何不变性的要求。(2)便于进行几何变换。(3)便于处理多值问题和垂直切线等无限大斜率问题。(4)规格化的参数变量t∈［0,1］，使其相应的几何形体是有边界的，而不必用另外的参数去定义其边界。参数表示的好处(5)便于曲线、曲面的分段、分片描述。(6)提供了更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。(7)易于用向量和矩阵的表示来简化方程，达到简化计算的目的。所有参数插值曲线的缺点：只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只适用于插值场合，如外形的数学放样不适合于外形设计参数多项式曲线（1/4）为什么采用参数多项式曲线表示最简单理论和应用最成熟定义--n次多项式曲线参数多项式曲线（2/4）矢量表示形式加权和形式缺点没有明显的几何意义与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难参数多项式曲线（3/4）矩阵表示矩阵分解几何矩阵控制顶点基矩阵M确定了一组基函数参数多项式曲线（4/4）例子—直线段的矩阵表示P0P1P0+P1几何矩阵G基矩阵MT绘制曲线的基本方法

在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的点都能符合某种条件，而满足该条件的点又均位于这条曲线上，那么可以把这种对应关系写成一个确定的函数式：这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即为这个方程的曲线。如圆、椭圆、双曲线等的方程。在绘制这些曲线的时候，可以借助于各种标准工具。如画圆可以用圆规等。但对于非圆曲线，绘制时的更一般方法是借助于曲线板。绘制曲线的基本方法先确定一些满足条件的、位于曲线上的坐标点，然后借用曲线板把这些点分段光滑地连接成曲线。绘出的曲线的精确程度，则取决于所选择的数据点的精度和数量，坐标点的精度高，点的数量取得多，则连成的曲线愈接近于理想曲线。其实，上面所说的方法也就是用计算机来绘制各类曲线的基本原理。由于图形输出设备的基本动作是显示像素点或者是画以步长为单位的直线段，所以，一般除了水平线和垂直线以外，其它的各种线条，包括直线和曲线，都是有很多的短直线段构成的锯齿形线条组成的。从理论上讲，绝对光滑的理想曲线是绘不出来的。绘制曲线的基本方法

这就告诉了我们一个绘制任何曲线的基本原理，就是要把曲线离散化---把它们分割成很多短直线段，用这些短直线段组成的折线来逼近曲线。至于这些短直线段取多长，则取决于图形输出设备的精度。在实际工程中经常会遇到这样的问题：由离散点来近似地决定曲线和曲面。如通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。通常，几何产品的几何形状大致可分为两类或由这两类组成：绘制曲线的基本方法一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面等组成，它们可以用画法几何与机械制图完全清楚地表达和传递所包含的全部形状信息。另一类由以复杂方式自由变化的曲线曲面，即所谓的自由曲线曲面组成。如飞机、汽车、船舶的外形零件等。显然，这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的。随着计算机的普及和应用，人们发现可以用数学方法惟一地定义自由曲线曲面的形状，由此导致了一门学科的诞生：计算机辅助几何设计CAGD（ComputerAidedGeometricDesign）CAGD是综合了微分几何、代数几何、数值计算、逼近论、拓扑学以及数控技术等的一门边缘性学科。依据定义形状的几何信息可建立相应的曲线曲面方程，即数学模型。并在计算机上通过计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量的点及其它信息。样条概念

在利用计算机自动绘图之前，航空、汽车和船舶制造业中常借助于称为样条(spline)的工具手工绘制自由曲线。绘图用的样条工具是一根富有弹性的匀质细木条、金属或有机玻璃条，可让它按要求通过一组指定点来生成平滑曲线。绘图时，绘图员用压铁强迫弹性条通过给定的数据点。三次样条曲线二次样条曲线自由曲线曲面构造方法已知条件的表示方法一系列有序的离散数据点型值点控制点边界条件连续性要求构造自由曲线曲面的方法插值、逼近是构造拟合曲线的重要方法。

插值点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值逼近提供的是存在误差的实验数据最小二乘法、回归分析提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点Bezier曲线、B样条曲线等

插值方法构造的插值函数的次数与插值点的个数有关,当插值点太多时,构造插值函数是相当困难的,并且,过多的插值点也会带来一定的误差。而逼近方法构造的多项式函数与型值点的个数无关。逼近的方法很多,最常用的有最小二乘法。拟合方法举例：最小二乘法

在科学研究中，通过实验或测量，可以获得大量的实验数据。一般在获得数据之后，对这些数据进行某种处理，然后绘成图形。

但由于实验本身会受到各种具体因素的影响，使得通过实验测得的数据或多或少地带有误差。也就是说，这些实验数据本身并不准确。因此如果仅仅是简单地将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很精确的方法恰恰不符合实际情况，也是不可取的。正确的方法应该是用一条平滑的曲线以适当的方式来尽可能地靠近这些数据点，以弥补由于误差造成的数据点的跳动。最小二乘法那么对于一系列的数据点（xi,yi）（i=1,2…n），所要绘制的曲线y=f(x)，用什么样的标准来评价这条曲线是否处于较为合理的状态呢？通常把数据点的坐标值与曲线上对应的坐标值之差ε作为评判的标准：εi：称为残差f(xi)：为理论值yi：为相应的实测值

常用的评判方法是：使残差的平方和即达到最小。这也就是所谓的最小二乘法。最小二乘原理最小二乘原理Y=a0+a1X(式1-1)φ=∑(Yi-Y)2(式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ=∑(Yi-a0-a1Xi)2(式1-3)当∑(Yi-Y)平方最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理最小二乘原理6.2Bezier曲线1962年，法国雷诺汽车公司P.E.Bezier工程师以“逼近”为基础UNISURF系统1972年雷诺汽车公司正式使用Bezier曲线（1/19）Bezier基函数--Bernstein多项式的定义三次Bézier曲线的四个混合函数

Bezier曲线（2/19）Bernstein基函数的性质正性权性对称性降阶公式升阶公式Bezier曲线（3/19）导数积分最大值在t=i/n处取得最大值线性无关性是n次多项式空间的一组基Bezier曲线（4/19）Bezier曲线的定义n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线控制顶点控制多边形P0P1P2P3Bezier曲线（5/19）Bezier曲线的性质端点位置P0P1P2P3Bezier曲线（6/19）端点切矢量导数曲线P0P1P2P3Bezier曲线（7/19）对称性不是形状对称保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒，曲线形状保持不变这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。Bezier曲线（8/19）凸包性点集的凸包包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内Bezier曲线（9/19）多值性P4P1P4P2P0=P5P3Bezier曲线（10/19）几何不变性

Bezier曲线位置和形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。平面曲线的变差缩减性

平面内任意直线与曲线的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。Bezier曲线（11/19）二次Bezier曲线n=2抛物线P0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)Bezier曲线（12/19）三次Bezier曲线n=3P0P1P2P3P(0)P(1)Bezier曲线（13/19）三次Bezier曲线的矩阵表示Bezier曲线（14/19）递推公式--DeCasteljau算法计算过程几何解释Bezier曲线（15/19）曲线的拼接Bezier曲线（16/19）零阶几何连续条件一阶几何连续条件二阶几何连续条件？三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧反求控制顶点给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点Bezier曲线（17/19）优点：形状控制直观设计灵活Bezier曲线（18/19）缺点：所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱曲线拼接需要附加条件，不太灵活Bezier曲线（19/19）B样条曲线（1/17）产生：1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线优于Bezier曲线之处：与控制多边形的外形更接近局部修改能力任意形状，包括尖点、直线的曲线易于拼接阶次低，与型值点数目无关，计算简便B样条曲线（2/17）定义：给定m+n+1个空间向量，(k=0,1,…,m+n)，称n次参数曲线

为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,…,m）它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性B样条曲线（3/17）为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段基函数为B样条函数

B样条曲线（4/17）二次B样条n=2抛物线B0B2B1MP(0.5)P(1)P(0)B样条曲线（5/17）三次B样条n=3P(t)B0B1B2B3B样条曲线（6/17）三次B样条的C2连续性如果增加一个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？B样条曲线（7/17）特殊外形设计三顶点共线位于控制多边形边上的一个点P0P2P1MP(0)P’(0)P0P2MP1P(0)B样条曲线（8/17）特殊外形设计四顶点共线含有直线段的曲线P0P3P1P2P(0)M1P(1)M2B样条曲线（9/17）特殊外形设计两顶点重合P0P2P1MP’(0)P0P2MP1P(0)P(0)B样条曲线（10/17）特殊外形设计两顶点重合相切于控制多边形边的曲线P2P5P1P0P4P3B样条曲线（11/17）特殊外形设计三顶点重合含有尖点的曲线P2P6P1P0P4P3P5B样条曲线（12/17）特殊外形设计如何构造通过控制多边形某一顶点的B样条曲线？提示：将控制多边形的首尾两条边各延长1/6，将新的顶点置为二重顶点将控制多边形的首尾两条边各延长1/2，利用三点共线B样条曲线（13/17）在数据拟合中的应