山西省忻州市温村联合学校高三数学文上学期期末试题含解析

山西省忻州市温村联合学校高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若=1+i（a，b∈R），则（a+bi）2=（）A．0 B．﹣2i C．2i D．2参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，求得a+bi，代入（a+bi）2，展开后得答案．【解答】解：∵=1+i，∴，则（a+bi）2=（1+i）2=2i．故选：C．2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A．棱柱 B．棱台 C．圆柱

D．圆台参考答案：D3.已知θ∈（，π），sinθ=，则sin（θ+）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．【解答】解：∵θ∈（，π），sinθ=，∴cosθ=﹣=﹣，则sin（θ+）=cosθ=﹣，故选：D．4.设函数f（x）=exsinπx，则方程xf（x）=f'（x）在区间（﹣2014，2016）上的所有实根之和为（）A．2015 B．4030 C．2016 D．4032参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数的导数，转化方程的根为个函数的图象的交点，利用对称性求解即可．【解答】解：由f'（x）=ex（sinπx+πcosπx）及xf（x）=f'（x）得xexxinπx=ex（sinπx+πcosπx）?（x﹣1）sinπx=πcosπx，由此方程易知sinπx≠0，cosπx≠0，则有，由于y=tanπx与的图象均关于点（1，0）对称，则在区间（﹣2014，2016）上的所有实根之和为2015×2=4030，故选：B．5.设，若，则实数的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知函数，则函数在区间上的零点

个数为（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：C7.已知a，b∈R，函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，设g（x）=﹣bxlnx+a在定义域内（） A．极大值 B． 有极小值 C． 有极大值2﹣ D． 有极小值2﹣参考答案：考点： 正切函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 先求出f′（x）=，再由条件根据导数的几何意义可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入切线方程求得b，可得g（x）解析式．再根据g′（x）的符号，求出g（x）的单调区间，从而求得g（x）的极值．解答： 解：由函数f（x）=tanx，可得f′（x）=．再根据函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入直线y=ax+b+，可得b=﹣1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．令g′（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g′（x）＜0，在（，+∞）上，g′（x）＞0，故g（x）在其定义域（0，+∞）上存在最小值为g（）=2﹣，故选：D．点评： 本题主要考查函数在某处的导数的几何意义，利用导数求函数的极值，属于基础题．8.已知满足不等式组,则目标函数的最大值为A.10

B.8

C.6

D.4参考答案：C9.已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，）参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，∴f（x）+xf′（x）=+=，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）=x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）=1﹣=，当g′（x）=0时，解的x=，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=∴b＜，故选：B．10.若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣ex的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x）ex﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）ex+1 D．y=f（x）ex﹣1参考答案：A【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断．【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，∴f（x0）﹣=0，∴f（x0）=，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）﹣1=﹣﹣1=0，故A正确；B、y=f（x0）+1=（）2+1≠0，故B错误；C、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e﹣x0f（x0）+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0，故C正确；D、y=f（﹣x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故D错误；故选：A．【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（13）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，面积，则b等于

．参考答案：512.设全集，集合则

▲

，

▲

，

▲

．参考答案：13.（5分）已知||=1，||=2，|3+|=4，则||=

．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；平面向量及应用．分析： 运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．解答： 由||=1，||=2，|3+|=4，则（3+）2=9++6=16，即为9+4+6=16，即有=，则||====．故答案为：．点评： 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．14.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为_______．参考答案：过球心，又是边长为的等边三角形，，,三角形是等腰直角三角形，，，又因为,在平面内，

由线面垂直的判定定理可得平面,即平面，设，，则三棱锥体积，当且仅当，即时取等号，故答案为.

15.一人口袋里装有大小相同的个小球，其中红色、黄色、绿色的球各个。如果任意取出个小球，那么其中恰有个小球同颜色的概率是__________（用分数表示）。参考答案：16.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.参考答案：17.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为

▲

.参考答案：12由三视图可知，这是一个底面为矩形，两侧面和底面垂直的四棱锥，底面矩形长4宽为3，四棱锥的高为3，所以四棱锥的体积为，答案为12.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知公差不为的等差数列的前项和＝9，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式和前项和.（2）设为数列的前项和，若对一切恒成立，求实数的最小值.参考答案：

在单调递增,19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=2+2cos（A+B）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理进行转化即可求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，根据三角形的面积公式即可求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…∴sinB=2sinA，…∴b=2a，∴．…（Ⅱ）∵，，∴b=2，∴，∴．…∴，即△ABC的面积的．…20.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=e2x+x2﹣ax，函数g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b（其中a，b为常数），若函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若s，t，r满足|s﹣r|＜|t﹣r|恒成立，则称s比t更靠近，在函数g（x）有极值的前提下，当x≥1时，比ex﹣1+b更靠近，试求b的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）根据更靠近的定义，构造函数，求函数的导数，利用最值和导数的关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e2x+x2﹣ax，∴f′（x）=2e2x+2x﹣a，∵函数f（x）在x=0处的切线与y轴垂直．∴f′（0）=2﹣a=0，得a=2，∴f（x）=e2x+x2﹣2x；（Ⅱ）g（x）=f（）﹣x2+（1﹣b）x+b=ex﹣b（x﹣1），则g′（x）=ex﹣b，①若b≤0，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，②若b＞0，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得x＜lnb，即g（x）在（﹣∞，lnb）上为减函数，则（lnb，+∞）上为增函数；（Ⅲ）∵函数g（x）有极值，∴b＞0，由题意知|﹣lnx|＜|ex﹣1+b﹣lnx|，（※），设p（x）=﹣lnx，x≥1，q（x）=ex﹣1+b﹣lnx，（x≥1），∵p（x）在[1，+∞）上是减函数，p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）=﹣lnx≥0，当x＞e时，p（x）=﹣lnx＜0，∵q′（x）=ex﹣1﹣，∴q′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴q′（x）≥q′（1）=0，即q（x）在[1，+∞）上为增函数，则q（x）≥q（1）=b+1＞0，则q（x）=ex﹣1+b﹣lnx＞0，①当1≤x≤e时，﹣lnx＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣ex﹣1，设m（x）=﹣ex﹣1，∵m（x）=﹣ex﹣1，在[1，e]上为减函数，∴b＞m（1），即b＞e﹣1，②当x＞e时，（※）即lnx﹣＜ex﹣1+b﹣lnx，即b＞﹣+2lnx﹣ex﹣1，设n（x）=＞﹣+2lnx﹣ex﹣1，x＞e，则n′（x）=＞﹣+﹣ex﹣1，x＞e，则n′（x）在（e，+∞）上为减函数，∴n′（x）＜n′（e），∵n′（e）=﹣ee﹣1＜0，∴n（x）在（e，+∞）上为减函数，n（x）＜n（e）=1﹣ee﹣1，则b≥1﹣ee﹣1，综上b＞e﹣1．【点评】本题主要考查不等式恒成立，利用函数单调性最值和导数之间的关系，是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．21.

我国采用的PM2.5的标准为：日均值在35微克／立方米以下的空气质量为一级；在35微克／立方米一75微克／立方米之间的空气质量为二级；75微克／立方米以上的空气质量为超标．某城市环保部门随机抽取该市m天的PM2.5的日均值，发现其茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示．

请据此解答如下问题：

（I）求m的值，并分别计算：频率分布直方图中的［75，95)和［95，115］这两个矩形的高；

（II）通过频率分布直方图枯计这m天的PM2.5日均值的中位数（结果保留分数形式）；

（皿）从这m天的PM2.5日均值中随机抽取2天，记X表示抽到PM2.5超标的天数，求X的分布列和数学期望．参考答案：略22.（2017?贵州模拟）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣5|，g（x）=．（1）求f（x）的最小值；（2）记f（x）的最小值为m，已知实数a，b满足a2+b2=6，求证：g（a）+g（b）≤m．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）化简f（x）的解析式，得