山西省忻州市杏岭子中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析

山西省忻州市杏岭子中学2022年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则=与=的大小关系（）A． B．

C． D．参考答案：C；初步判断便可以确定：、都是周期函数，且最小正周期都为．所以，只需考虑的情形．另外，由于为偶函数，为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的的范围继续缩小？事实上，当时，>0，恒成立，此时，>．下面，我们只需考虑的情形．如果我们把看作是关于的余弦函数，把看作是关于的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性．至此为止，可以看出：由于和同属于余弦函数的一个单调区间，（即，），所以，只需比较与的大小即可．事实上，（）—=—=所以，利用余弦函数在上单调递减，可得：<．也即<另解：可用特值法代入验算，轻易得出结论。2.2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧。为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤。某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲、乙两列列车不在同一小组。如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有A、36种B、108种

C、216种

D、432种参考答案：答案：C3.已知集合，或，若，则的取值范围是（

）A．(－∞,3]

B．(－∞,4]

C．[3,4]

D．(3,4)参考答案：C4.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不

低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）A.

B.

C.

D.参考答案：B5.若函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在[0，]上的最大值为（）A．2 B． C． D．参考答案：C【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的化简求值．【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x），根据f（x）的最小正周期求出ω的值，由x的取值范围求出f（x）的最大值【解答】解：f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=cosωx﹣sinωx=cos（ωx+），∵函数f（x）的最小正周期为π，∴ω==2，∴f（x）=cos（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）在[0，]上的最大值为f（0）=cos=故选：C6.设全集，集合，集合，则=A．

B．

C．

D．参考答案：D7.（7）关于的不等式（）的解集为，且：，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A．8.已知M是△ABC内的一点，且?=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB、△MCA的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A．9 B．16 C．18 D．20参考答案：C【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得?=bccos∠BAC=bc×=2，∴bc=4，故S△ABC=x+y+bcsinA=1，∴x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，当且仅当x=，y=时取等号．故选：C．9.函数的零点所在的区间是A

() B

() C

() D

()参考答案：A略10.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B本题考查古典概型,新定义问题.因为从集合中取出三个不相同的数共有个,由题意知,凸数有132,231,143,341,243,342,342,243共8个,所以这个三位数是“凸数”的概率.选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为

．（容器壁的厚度忽略不计）参考答案：41π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，该球形容器的半径的最小值为=，即可求出该球形容器的表面积的最小值．【解答】解：由题意，该球形容器的半径的最小值为=，∴该球形容器的表面积的最小值为=41π．故答案为41π12.设数列满足，(n∈N﹡)，且，则数列的通项公式为

.参考答案：设，即，所以，即，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，所以.13.设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=

．参考答案：2【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．14.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n﹣1（n∈N*），则a1=

；数列{an}的通项公式为an=．参考答案：2,.【考点】8H：数列递推式．【分析】本题直接利用数列前n项和与数列通项的关系，可得到本题结论【解答】解：∵Sn=n2+2n﹣1，当n=1时，a1=1+2﹣1=2，当n≥2时，∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣1]=2n+1，∵当n=1时，a1=﹣2+1=3≠2，∴an=，故答案为：2，=．15.已知函数若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．参考答案：(－2,1)16.已知，，，则在方向上的投影为

．参考答案：﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得?，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即为2+4?+42=4，即有1+4?+4=4，?=﹣，可得在方向上的投影为=﹣．故答案为：﹣．17.函数的值域是 .

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）在数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列；（3）设数列满足的前项和.参考答案：（1）（2）见解析（3）（1）,∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴.（2）因为，所以.因为，公差，所以数列是首项，公差的等差数列.（3）由（1）知，,所以①??②由①-②得：19.已知正实数a、b满足：a2+b2=2．（1）求的最小值m；（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=成立，说明理由．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用绝对值形式的三角不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴满足条件的实数x不存在．【点评】本题考查了基本不等式的性质、绝对值形式的三角不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．20.已知函数，其中a∈R.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值．参考答案：略21.已知△ABC的三个内角△ABC所对的边分别为a，b，c，向量，，且（1）求角A的大小；（2）若BC＝，试求△ABC面积的最大值及此时△ABC的形状．参考答案：(1)60°；(2)，等边三角形.【分析】（1）根据数量积的运算，结合倍角公式的使用，通过解三角方程，即可求解；（2）根据余弦定理，结合均值不等式，即可求得面积的最值，以及此时的形状.【详解】（1）因，故可得，由公式可得即可得，解得，又，故可得.（2）因为BC＝，即.由余弦定理可得，整理得即可得，解得，当且仅当时取得最大值，又因为，故此时为等边三角形.故，此时三角形的形状是等边三角形.【点睛】（1）本题考查余弦的倍角公式，三角形面积的最大值问题，涉及均值不等式的使用，属综合性中档题.22.已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：

（Ⅰ）A1D与EF所成角的大小；（II）A1F与平面B1EB所成角的余弦值；

（III）二