中国矿业大学工程数学第五章

第五章留数第一节孤立奇点5.1解析函数的孤立奇点由于函数f(z)在去掉圆心的圆盘内解析，则在D内，f(z)有洛朗展式其中

是圆孤立奇点的分类—可去奇点：一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负次幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：（1）如果无负次幂项,即当n=-1,-2,-3,…，时那么我们说z0是f(z)的可去奇点。这时令，就得到在整个圆盘内的解析函数f(z)。如果补充定义:时,那末在解析.比如：

中不含负幂项,是的可去奇点.（2）、如果只有有限个负次幂项,即有限个（至少一个）负整数n，使得那么我们说z0是f(z)的极点。设对于正整数m，而当n<-m时，即负次幂项最高为m次那么我们称z0是f(z)的m阶(级）极点。（3）、如果有无穷个负次幂项,即无限个整数n<0，使得那么我们说是f(z)的本性奇点。例如，0分别是的可去奇点,一级极点,本性奇点定理5.1函数f(z)在内解析，那么z0是f(z)的可去奇点的充分与必要条件是：存在着极限，其中是一个复常数。证明：（必要性）。由假设，在内，f(z)有洛朗级数展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着：（充分性）。设在内，f(z)的洛朗级数展式是由假设，存在着两个正数M及，使得在内，当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令趋近于0，就得到于是z0是f(z)的可去奇点。那么取，使得，我们有下面研究极点的特性：设函数f(z)在内解析，是f(z)的阶极点，那么，f(z)有可表示为：在这里。于是在内在这里是一个在内解析的函数，并且反之，如果函数f(z)在内可以表示成为上面的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是f(z)的m阶极点。定理5.2设函数f(z)在内解析，那么z0是f(z)的极点的充分与必要条件是：关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论：定理5.3函数f(z)在内解析，那么是f(z)的本性奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限例20是函数的本性奇点，不难看出不存在。解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于

当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；解析函数的零点设不恒为零的函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且那么称z0为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式是：并且存在正整数m，而对于n<m，那么我们说z0是f(z)的m阶零点。如果z0是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在它的一个邻域U内其中在U内解析。定理5.1

设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零点，那么存在着z0的一个邻域，在其中z0是f(z)的唯一零点。因此存在一个正数，使得当时，。于是条件很容易证明.

3.零点与极点的关系定理如果是的m级零点,那末就是的

m级极点.反过来也成立.证如果

的m级零点,是那末当时,解析且所以是的m级极点.解析且如果是的m级极点,则有当时,函数在解析且由于只要令

那末的m级零点.就是说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例3函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解

函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.解析函数在无穷远点的性质

设函数f(z)在区域内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：其中系数由定理4.4中类似的公式确定。令，按照R>0或R=0，我们得到在或内解析的函数其洛朗级数展式是：如果w=0是的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点，那么分别说是f(z)的可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。（1）、如果当时n=1,2,3,…，，那么是f(z)的可去奇点。（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n，使得，那么是f(z)的极点。设对于正整数m，，而当n>m时，那么我们称是f(z)的m阶极点。（3）、如果有无限个整数n>0，使得，那么我们说是f(z)的本性奇点。定理设函数f(z)在区域内解析，那么是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的充分必要条件是：存在着极限、无穷极限、不存在有限或无穷的极限。注解、上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形，我们综合如下：例5函数在复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.解

函数除点外,所以这些点都是的一级零点,故这些点中除1,-1,2外,都是的三级极点.内解析.在所以那末是的可去奇点.

也可以因为

第五章留数理论及应用第2节留数35留数的概念

设函数f(z)在区域0<|z-z0|<R内解析。C是z0邻域内的任意一条包含z0简单正向闭曲线

那么如果f(z)在z0也解析，则上面的积分等于零；

如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分考虑积分36定义为f(z)在孤立奇点z0处的留数，记作这里积分是沿着C按逆时针方向取的。事实上，在0<|z-z0|<R内，f(z)有洛朗展式：而且这一展式在C上收敛。因此，37注解1:f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中的系数。注解2:如果z0是f(z)的可去奇点，那么38留数定义为我们提供了两个计算留数的方法：一是将在

内展开成罗朗级数，取其负一次幂项的系数二是计算.394041定理一（留数定理）设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点那末：

外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，42Dz1z2z3znC1C2C3CnC43证明：以D内每一个孤立奇点zk为心，作正向简单闭曲线Ck，

并且使任意两个这样的闭曲线彼此无公共点。从D中除去以这些Ck为边界的闭曲线的一个区域G，其边界是C以及Ck，根据复合闭路定理，这里沿C的积分按关于区域D的正向取的，沿Ck的积分按反时针方向取的。[证毕]两边同时除以且45

留数的计算方法46首先考虑一阶极点的情形。设z0是f(z)的一个一阶极点。因此在去掉中心z0的某一圆盘内其中在这个圆盘内包括z=z0解析，其泰勒级数展式是：47而且。显然，在f(z)的洛朗级数中，的系数等于，因此一级极点的留数求法48如果在上述去掉中心z0的圆盘内（），其中P(z)及Q(z)在这圆盘内包括在z0解析，z0是Q(z)的一阶零点，并且Q(z)在这圆盘内没有其他零点，那么z0是f(z)的一阶极点，因而4950例3、

函数因此有两个一阶极点，这时51

其次，我们考虑高阶极点的情形。设z0是f(z)的一个k阶极点(k>1)。这就是说，在去掉中心z0的某一圆盘内()其中在这个圆盘内包括z=z0解析，其泰勒级数展式是：52由此可见，显然，因此问题转化为求泰勒级数展式的系数。如果容易求出它的泰勒级数展式，那么由此可得53因此，我们也可根据下列公式计算我们也可以用下面的方法证明：545556例4、函数在z=0有三阶极点，则（用洛朗展式方法）因此由上述公式也可得：57例5、函数在z=i是二阶极点。这时由上述公式可得：58定义5.2.2：无限远点留数59606162(积分曲线为逆时针方向)6364656667例9计算下列积分

解68例11计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,例12计算积分C为正向圆周:解

除被积函数点外,其他奇点为由于与1在C的内部,则所以73解为奇点,当时为一级极点，7475解例14

计算原式

第五章留数理论及应用第3节留数定理的应用留数定理的应用--积分的计算:

在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如例1、

计算积分其中常数a>1。而且当t从0增加到解：令，那么时，z按逆时针方向绕圆C:|z|=1一周。因此于是应用留数定理，只需计算在|z|<1内极点处的留数，就可求出I。上面的被积函数有两个极点：显然因此被积函数在|z|<1内只有一个极点z1，而它在这点的留数是：于是求得注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如的积分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圆C:|z|=1上，分母不等于零。

83若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.二、形如的积分842.

积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.1.

被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).85xy..这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在