山西省忻州市五寨县梁家坪乡联校2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省忻州市五寨县梁家坪乡联校2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的最小正周期是，将图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则（

）（A）在区间上单调递减

（B）在区间上单调递增（C）在区间上单调递减

（D）在区间上单调递增参考答案：B,平移得到的函数是，其图象过（0，1），∴，因为，∴，，故选B．2.为了庆祝元旦节,某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随;齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋,能获奖的概率为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D3.（5分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据频率分布直方图每一个小矩形的面积等于该组的概率，易得到答案．解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的概率为（0.01+0.01+0.04）×5=0.3故答案为：A．【点评】：本题考查了频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率．4.定义在上的函数满足，对任意给定的不相等的实数，，不等式恒成立，若两个正数，满足，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C因为任意给定的不相等的实数，，不等式恒成立，所以在实数上单调递增；因为，由可得，由题意可得，画出、的可行域，则可看作区域内点与定点的斜率；直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，选C．5.已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为()A．3

B．2

C.

D．1参考答案：C略6.在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是（）A．﹣e B． C．e D．参考答案：B【分析】由函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=ex互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵函数y=g（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=ex互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故选B．【点评】互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．7.设全集U=R，集合A={1，2，3，4}，B={x|x≤2}，则A∩（?UB）=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1} D．{1，2，3，4}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出A∩（?UB）即可．【解答】解：全集U=R，集合A={1，2，3，4}，B={x|x≤2}，∴?UB={x|x＞2}，∴A∩（?UB）={3，4}．故选：B．8.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．53 B．54 C．158 D．263参考答案：A【考点】EF：程序框图．【分析】【方法一】根据正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．【解答】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被5除余3，得n=5l+3，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263﹣105﹣105=53，即输出n值为53．故选：A．9.函数的零点有 （

） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：B略10.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算.A1【答案解析】B解析：解：由集合A中的不等式x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴A=（﹣1，2），由集合B中的函数y=ln（1﹣|x|），得到1﹣|x|＞0，即|x|＜1，解得：﹣1＜x＜1，∴B=（﹣1，1），又全集R，∴CRB=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），则A∩（CRB）=[1，2）．故选B【思路点拨】求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求值：____

．参考答案：-112.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是

参考答案：函数的图象向左平移个长度单位后变为，其图象关于原点对称，则因为，所以当时，有最小值，最小值为13.若，α是第二象限的角，则=．参考答案：考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由题意可求得cosα，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：∵sinα=，α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=﹣×+×=．故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的余弦函数，求得cosα是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．14.对于不等式组的解(x，y)，当且仅当时， z=ax+y取得最大值，则实数a的取值范围是

▲

_．参考答案：15.已知直线l：12x﹣5y=3与x2+y2﹣6x﹣8y+16=0相交于A，B两点，则|AB|=

．参考答案：4

【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，∴圆心坐标为（3，4），半径r=3，∴圆心到直线12x﹣5y=3的距离d==1，则|AB|=2=4故答案为：416.在直角坐标系中，椭圆的参数方程为。在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为与。若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为

。参考答案：直线的方程是，作出图形借助直线的斜率可得，所以，【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆

17.已知则的夹角大小为

．参考答案：60°三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（30分）如图4，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线参考答案：

19.

已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

参考答案：解：（Ⅰ）设，由题意知

，即化简得曲线C方程为：（Ⅱ）思路一满足题意的直线的斜率显然存在且不为零，设其方程为，由（Ⅰ）知，所以，设直线方程为，当时得点坐标为，易求点坐标为所以=，当且仅当时，线段MN的长度有最小值.思路二：满足题意的直线的斜率显然存在且不为零，设其方程为，联立方程：消元得，设，，由韦达定理得：，所以，代入直线方程得，所以，又所以直线BQ的斜率为以下同思路一思路三：设，则直线AQ的方程为直线BQ的方程为当，得，即当，得，即则又所以利用导数，或变形为二次函数求其最小值。

略20.已知五边形ABCDE由直角梯形ABCD与直角△ADE构成，如图1所示，AE⊥DE，AB∥CD，AB⊥AD，且AD=CD=2DE=3AB，将梯形ABCD沿着AD折起，形成如图2所示的几何体，且使平面ABCD⊥平面ADE．（Ⅰ）在线段CE上存在点M，且=，证明BM∥平面ADE；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）过点M作MF∥DC，交ED于点F，推导出四边形ABMF是平行四边形，由此能证明BM∥平面ADE．（Ⅱ）以点E为原点，ED为x轴，EA为y轴，过E作平面ADE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）过点M作MF∥DC，交ED于点F，∵=，∴，由题意知=，AB∥CD，∴ABMF，∴四边形ABMF是平行四边形，∴BM∥AF，又BM?平面ADE，AF?平面ADE，∴BM∥平面ADE．解：（Ⅱ）∵AE⊥DE，∴以点E为原点，ED为x轴，EA为y轴，过E作平面ADE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则AD=CD=3，DE=，由AD=2DE，AE⊥DE，知∠DAE=30°，∴AE=AD，∴C（），B（0，，1），设=（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，则，取x=2，得=（2，，﹣1），平面DCE的一个法向量=（0，1，0），cos＜＞==，由图形得二面角B﹣CE﹣D的平面角是钝角，∴二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.张老师上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．路线①：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟．路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟．（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯，由此能求出张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率．（2）设选择khxg①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，从而求出Eξ=2；设选择路线②延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0，8，5，13，分别求出相应的概率，从而求出Eη=5．由此求出为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．【解答】解：（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯，∴张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率p==．（2）设选择khxg①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5，则P（ξ=0）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，Eξ=．设选择路线②延误时间