山西省忻州市原平沿沟乡中学高三数学理测试题含解析

山西省忻州市原平沿沟乡中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A.试题分析：由题意得，，∴，故选A.考点：集合的运算.2.已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，fmin（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，则fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．3.已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0），（t＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（x﹣）2+（y﹣1）2=1的圆心C（，1），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+t，b），=（a﹣t，b），由已知得t2=a2+b2=|OP|2，t的最大值即为|OP|的最大值．【解答】解：圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1的圆心C（，1），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+t，b），=（a﹣t，b），∵∠APB=90°，∴⊥，∴?=（a+t）（a﹣t）+b2=0，∴t2=a2+b2=|OP|2，∴t的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=2+1=3．故选：C．4.已知命题p：?x＜0，x3＜0，那么￢p是（）A．?x＜0，x3≥0 B．?x0＞0，x03≤0 C．?x0＜0，x03≥0 D．?x＞0，x3≥0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：?x＜0，x3＜0，那么￢p为：?x0＜0，x03≥0，故选：C．5.如图是函数的部分图像，函数的零点所在的区间是，则的值为（

▲

）1或0

B.0

C.1或1

D.0或1参考答案：C略6.集合A={x|x≤a}，B={1，2}，A∩B=?，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由已知可得a＜1，且a＜2，进而得到a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x≤a}，B={1，2}，若A∩B=?，则a＜1，且a＜2，综上可得：a∈（﹣∞，1），故选：A7.若复数z满足（3+2i）?z=5﹣i，则|z|=（）A．1 B． C．2 D．参考答案：B【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（3+2i）?z=5﹣i，得，则．故选：B．8.已知集合，则中元素的个数是A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：B当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故选B.9.在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==1﹣=，故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．10.已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是xy，那么就会有0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|如果小于20，就是等待事件，否则不用等待了．由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是xy那么就会有：0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|＜30，就是等待事件，否则不用等待了．画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，∴至少有一辆车需要等待装货物的概率p=；故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在R上的奇函数，且满足，且，则_______________．参考答案：–2略12.坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线a的极坐标方程为，则直线a与圆C的交点的直角坐标系为_______参考答案：(-1,1).(1,1)略13.如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=_________.参考答案：14.如果执行右侧的程序框图，那么输出的S=．参考答案：420考点：循环结构．分析：按照框图的流程，写出前几次循环的结果，得到框图的功能是求前n个偶数的和；由框图得到k=21时输出s；利用等差数列的前n项和公式求出输出的s．解答：解：经过第一次循环得到s=2，k=2；经过第二次循环得到s=2+4，k=3；经过第三次循环得到s=2+4+6，k=4；…经过第20次循环得到s=2+4+6+..2×20，k=21；此时不满足判断框中的条件，执行输出s而s=2+4+6+…2×20=420故答案为420点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．15.已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的表面积为

．参考答案：.试题分析：以底面三角形作菱形，则平面ABC，又因为SC⊥平面ABC，所以，过点作，垂足为，在直角梯形中，其中，所以可得，所以，所以球O的表面积为，故应选.考点：1、球的表面积；2、简单的空间几何体；16.设向量，，若，则______.参考答案：略17.设等比数列{an}的前n项积为Πn，若Π12=32Π7，则a10的值是．参考答案：2【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用Π12=32Π7，求出a8?a9?…?a12=32，再利用等比数列的性质，可求a10．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项积为Πn，Π12=32Π7，∴a1?a2?a3?…?a12=32a1?a2?a3?…?a7，∴a8?a9?…?a12=32，∴（a10）5=32，∴a10=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG?平面PAD，CE?平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由?=0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．

…（9分）（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以?=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．

…（14分）【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．19.设离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为﹣1．（1）求E的方程；（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率求得a=c，根据勾股定理及椭圆的定义，求得a﹣c=﹣1．b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，由两平行之间的距离公式，由矩形的周长公式2（丨AB丨+d）=，代入即可求得m的值，求得直线AB的方程．【解答】解：（1）∵离心率为e==，则a=c，①由PF1⊥PF2，则丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2=4c2，由椭圆的定义可知；丨PF1丨+丨PF2丨=2a，则丨F1F2丨2=（丨PF1丨+丨PF2丨）2﹣2丨PF1丨?丨PF2丨，∴丨PF1丨?丨PF2丨=2a2﹣2c2，，△PF1F2的面积S，S=丨PF1丨?丨PF2丨=×R×（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨），则a﹣c=﹣1．②由①②解得：a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆E的方程为．（2）由题意设直线l的方程：y=x+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），则，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，由△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣2m2+3＞0，解得﹣＜m＜，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，则丨AB丨=?=?=，直线AB，CD之间的距离d==，由矩形ABCD的周长为，则2（丨AB丨+d）=，则2（+）=，解得：m=1，则直线AB的方程为y=x+1．20.(本小题满分8分)某省为了确定合理的阶梯电价分档方案，对全省居民用量进行了一次抽样调查，得到居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图（如图所示）。求：（1）由频率分布直方图可估计，居民月用电量的 众数是多少？（2）若要求80%的居民能按基本档的电量收费，则基本档的月用电量应定为多少度？参考答案：（1）由图可知，居民用量的众数为170 ――――――――――――3分（2）因为所以，基本档的月用电量应定为180度 ――――――――――――6分21.已知函数＝－４，点（，０），过点作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝于点，过作抛物线Ｃ：y＝的切线与x轴交于点（，０），过点作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝于点，过点作抛物线Ｃ：y＝的切线交x轴于点（，０）┉依次下去，得到、、┉，，其中>０，（１）求与的关系式ks5u（２）若>２，记，证明数列是等比数列（３）若＝，求数列的前n项和

参考答案：解：（1）∵＝２∴切线Ｌ的方程为令y＝０得┉┉┉┉┉┉５