山西省忻州市原平新原乡中学2021年高二数学理测试题含解析

山西省忻州市原平新原乡中学2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为异面直线，平面，平面．直线满足则

（

）A．,且 B．,且C．与相交,且交线垂直于 D．与相交,且交线平行于参考答案：D2.已知是虚数单位，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】复数的代数运算【答案解析】B解析：解：1－4－4i=－3－4i，所以选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点，熟练掌握复数的代数运算法则是解题的关键.3.函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数的充要条件是(

)A．a=4 B．a=﹣1 C．a=4或a=﹣1 D．a∈R参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即（a+1）tan2x﹣3sinx+a2﹣3a﹣4=﹣，即（a+1）tan2x+a2﹣3a﹣4=﹣（a+1）tan2x﹣（a2﹣3a﹣4），则，即，即，则a=﹣1，当a=﹣1时，f（x）=3sinx为奇函数，则函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a2﹣3a﹣4为奇函数的充要条件是a=﹣1，故选：B【点评】本题主要考查充要条件的求解，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．4.将曲线c按伸缩变换公式变换得到曲线方程为x/2+y/2=1，则曲线c的方程为（）A． B． C．4x2+9y2=1

D．4x2+9y2=36参考答案：C【考点】O7：伸缩变换．【分析】只要把伸缩变换公式代入曲线方程为x/2+y/2=1，即可得原曲线c的方程．【解答】解：由题意，把伸缩变换公式代入曲线方程为x/2+y/2=1，得（2x）2+（3y）2=1，即4x2+9y2=1．∴曲线c的方程为4x2+9y2=1．故选C．5.从区间[1,8]上任意选取一个实数m，则双曲线的离心率大于2的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D6.函数的单调递减区间为（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：D7.

若的内角所对的边满足，且，则的最小值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为()A．

B．

C．D．参考答案：C略9.函数在内单调递减，则的范围是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由函数在内单调递减，分别根据二次函数的性质、对数函数的图象与性质，以及分段函数的性质，列出相应的不等式组，即可求解．【详解】由题意，函数内单调递减，则，即，解得，即实数的范围是，故选B．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中熟记分段函数的单调性的判定方法，合理列出不等式组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10.对于函数，，若的零点为的零点为，当存在满足，则称，为亲密函数。现在，互为亲密函数，则实数的取值范围(

)A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有种（用数字作答）．参考答案：数字之和为10的情况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；取出的卡片数字为4，4，3，3时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为2，2，5，5时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为2，3，4，5时；每个数字都有两种不同的取法，则有24A44种不同排法；所以共有2A44+24A44=18A44=432种不同排法．故答案为：432．根据题意，分析可得，数字之和为14的情况有4，4，3，3；2，2，5，5；2，3，4，5；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理，相加可得答案．12.已知⊙O的割线PAB交⊙OA，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为

．参考答案：2考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=3，AB=4，PO=5，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．解答： 解：设⊙O的半径为R则PC=PO﹣OC=5﹣RPD=PO+OD=5+R又∵PA=3，AB=4，∴PB=PA+AB=7由切割线定理易得：PA?PB=PC?PD即3×7=（5﹣R）×（5+R）解得R=2故答案：2点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键．13.设，则函数的最小值

，此时相应的值为

参考答案：5、3略14.过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为

．参考答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5【考点】圆的标准方程．【分析】由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而求得圆的标准方程．【解答】解：由于所求的圆经过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0），故圆心在直线x=﹣2上，又在y=1上，故圆心的坐标为M（﹣2，1），半径为MO=，故要求的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，故答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5．15.某田径队有男运动员42人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为n的样本．若抽到的女运动员有5人，则n的值为

．参考答案：12【考点】B3：分层抽样方法．【分析】根据男女运动员的人数比例确定样本比例为42：30=7：5，然后根据比例进行抽取即可．【解答】解：田径队有男运动员42人，女运动员30人，所男运动员，女运动员的人数比为：42：30=7：5，若抽到的女运动员有5人，则抽取的男运动员的人数为7人，则n的值为7+5=12故答案为：12．16.设函数，已知存在，使得，，则的取值范围是

▲

．参考答案：略17.双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为(－2,0)和(2,0)，且经过点，则双曲线的标准方程是__________．参考答案：解：由题意，，，∴，，，故双曲线的标准方程是．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.参考答案：解：（1）由曲线：

得即：曲线的普通方程为：

由曲线：得：即：曲线的直角坐标方程为:

(2)由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为，此时点的坐标为

略19.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。求：（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.参考答案：（1）

（6分）

（2）

（14分）20.（本题满分12分）如图，已知四边形与都是正方形，点E是的中点，.（I）求证：平面BDE；（II）求证：平面⊥平面BDE.参考答案：21.（本小题满分14分）已知等腰直角三角形的直角边长为2，如图，沿其中位线将平面折起，使平面⊥平面，得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、.（1）求证：、、、四点共面；（2）求证：平面⊥平面；

（3）求异面直线与所成的角.参考答案：解：(1)由条件有PQ为的中位线，MN为梯形BCDE的中位线∥，∥

PQ∥MN

M、N、P、Q四点共面．（2）证明:由等腰直角三角形有，CDDE，DE∥BC又，面ACD，

又∥

平面，平面，

平面平面。

(3)解法一：平面平面,交线为DE,ADDE

AD面BCDE

AD、DC、DE两两互相垂直

可以以D为原点建立如图空间直角坐标系，

由条件得AD=1，DC=1，BC=2，则C（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），B（1，2，0）

设异面直线BE与MQ所成的角为，∵MQ∥BC,∴

，

异面直线BE与MQ所成的角大小为．解法二：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，延长ED到R，使DR＝ED，连结RC

则ER＝BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形RC∥EB，又AC∥QM

为异面直线BE与QM所成的角（或的补角）DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，∴由勾股定理得AC=AR=RC=，

ACR为正三角形＝

异面直线与所成的角大小

解法三：由条件得AD=1，DC=1，BC=2，取BC中点K，再取CK中点H连结MH，则在梯形BCDE中可得MH∥BE

、（或的补角）

且MH＝BE，CH＝BC＝，又CM＝，CHM中，可得MH＝

又MDQ中可得QM＝，

又DK中可得DK＝，QDH中可得QH＝

=

，

异面直线BE与MQ所成的角大小为

22.（本小题满分12分）

如图，已知的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是的上半圆上的一个动点，以PC为边作正三角