山西省忻州市南河沟乡中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省忻州市南河沟乡中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数则不等式的解集是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜6？ B．k＜7？ C．k＜8？ D．k＜9？参考答案：C【考点】E7：循环结构．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：

S

k

第一次循环

log23

3第二次循环

log23?log34

4第三次循环

log23?log34?log45

5第四次循环

log23?log34?log45?log56

6第五次循环

log23?log34?log45?log56?log67

7第六次循环

log23?log34?log45?log56?log67?log78=log28=3

8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故选：C．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．3.已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．（﹣，] B．（﹣∞，] C．（﹣，） D．（﹣∞，）参考答案：D【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则的几何意义表示区域内的点与（0，﹣1）连接的直线斜率，所以与A连接的直线斜率最大，与O连接直线斜率最小，故则的取值范围为（﹣∞，）；故选D．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是前提，利用目标函数的几何意义求最值是关键，利用了数形结合的思想．4.已知平面向量满足的夹角为60°，若则实数的值为A.1 B. C.2 D.3参考答案：D略5.已知R，且≥对∈R恒成立，则的最大值是A．

B．

C．

D．参考答案：A【知识点】导数的应用，数形结合法确定不等式恒成立的条件.

B12

E8解析：即对∈R恒成立，设直线y=ax与曲线相切的切点为，又，则，所以，，所以，设：，则得，可判断f(a)在处有最大值，所以的最大值是：，故选A.【思路点拨】≥对∈R恒成立，即对∈R恒成立，即直线y=ax恒在曲线的下方，为此先求直线y=ax与曲线相切的条件，，再用导数法求得ab的最大值.

6.已知实数x，y满足，则|3x+y|的最大值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解表达式的最大值即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：则|3x+y|的最大值就是平移图中的两条虚线，可知B是最优解，由：，解得B（2，1），则|3x+y|的最大值为：3×2+1=7．故选：C．7.定义域为的函数，满足，，则不等式的解集为(▲)A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.函数y=+的定义域为（）A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，] C．[﹣，] D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式被开方数大于或等于0，列出不等式组求出解集即可．【解答】解：函数y=+，∴，解得﹣≤x≤，∴函数y的定义域为[﹣，]．故选：C．9.已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．10.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若，则a，b，c的大小关系为（A）a＜b＜c（B）b＜a＜c（C）c＜b＜a

（D）c＜a＜b参考答案：C由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系内，点关于直线的对称点的极坐标为.参考答案：12.某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．参考答案：10【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设z=x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．但此时z最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，代入目标函数z=x+y得z=5+5=10．即目标函数z=x+y的最大值为10．故答案为：10．13.已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=

．参考答案：1考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．解答： 解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥?a1a2+b1b2=0，∥?a1b2﹣a2b1=0，是基础题．14.已知平面向量，满足：，则的夹角为

参考答案：因为，所以，所以的夹角为。15.不等式的解集为

.

参考答案：16.实数x，y满足约束条件，若函数的最大值为4，则实数a的值为__________．参考答案：略17.已知函数是定义域为，其图像上的任意一点满足，则下列命题正确的是

。（写出所有正确命题的编号）①函数一定是偶函数；②函数可能既不是奇函数，也不是偶函数；③函数可能是奇函数；④函数若是偶函数，则值域是或；⑤函数的值域是，则函数一定是奇函数。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值.参考答案：解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，∴

所求椭圆方程为．……5分（2）设，．坐标原点到直线的距离为，得．………6分把代入椭圆方程，整理得，，．………8分…………………9分．…………11分当且仅当，即时等号成立．所以，．所以，面积的最大值．…13分

略19.参考答案：20.如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴.∵是菱形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）∵平面，，以为原点，，，方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.∵，，，∴，，.则，，，，∴，.设平面的法向量为，∵，，∴.令，得.同理可求得平面的法向量为.∴.21.己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）问题转化为解不等式|x﹣2|＜|x+4|，两边平方，解出即可；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，根据绝对值的性质，求出|x﹣2|+|x+4|的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜g（x）+a即|x﹣2|＜|x+4|，两边平方得：x2﹣4x+4＜x2+8x+16，解得：x＞﹣1，∴原不等式的解集是（﹣1，+∞）；（Ⅱ）f（x）+g（x）＞a2可化为a2﹣a＜|x﹣2|+|x+4|，又|x﹣2|+|x+4|≥|（x﹣2）﹣（x+4）|=6，∴a2﹣a＜6，解得：﹣2＜a＜3，∴a的范围是（﹣2，3）．【点评】本题考察了解绝对值不等式问题，考察转化思想，是一道基础题．22.现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75频数510151055赞成人数4812521

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成

不赞成

合计

（Ⅱ)若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行