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山西省忻州市南新中学高一数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.与函数y=|x|相等的函数是()A.y=()2 B.y=()3 C.y= D.y=参考答案:C【考点】判断两个函数是否为同一函数.【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】对于A,B,D经过化简都可得到y=x,显然对应法则和y=|x|的不同,即与y=|x|不相等,而C化简后会得到y=|x|,从而得出该函数和y=|x|相等.【解答】解:y=,,=x,这几个函数的对应法则和y=|x|的不同,不是同一函数;,定义域和对应法则都相同,是同一函数.故选C.【点评】考查函数的三要素:定义域、值域,和对应法则,三要素中有一要素不同,便不相等,而只要定义域和对应法则相同时,两函数便相等.2.指数函数y=ax的图象经过点(2,16)则a的值是(
)A. B. C.2 D.4参考答案:D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.【专题】计算题.【分析】设出指数函数,将已知点代入求出待定参数,求出指数函数的解析式即可.【解答】解:设指数函数为y=ax(a>0且a≠1)将(2,16)代入得16=a2解得a=4所以y=4x故选D.【点评】本题考查待定系数法求函数的解析式.若知函数模型求解析式时,常用此法.3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,3a]上的偶函数,那么a+b的值是()A. B.
C. D.-参考答案:C略4.已知是平面内不共线的两个向量,.若a,b共线,则等于(
)(A)-9
(B)-4
(C)4 (D)9参考答案:B5.若函数是幂函数,则实数m的值为
()A.-1
B.0
C.1
D.2参考答案:A略6.的值等于()A.
B. C.
D.参考答案:A略7.集合A={1,2,3,a},B={3,a},则使A∪B=A成立的a的个数是
(
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个参考答案:C略8.已知直线的倾斜角,则其斜率的值为
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B9.命题“”的否定是()A. B.C. D.参考答案:C【分析】根据全称命题与存在性命题的关系,准确改写,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据全称命题与存在性命题的关系,可得命题“”的否定是“”,故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定,其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.10.在△ABC中,若2cosB?sinA=sinC,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中,已知AB=AC=2BC,则sinA=
.参考答案:【考点】三角形中的几何计算.【分析】令AB=AC=2BC=2m.即可得cosA=,sinA【解答】解:令AB=AC=2BC=2m,由余弦定理可得cosA==,∵A∈(0,π),∴sinA=,故答案为:.12.如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点,则此四面体与过E,F,G的截面平行的棱的条数是
.参考答案:2【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】推导出EF是△BCD中位线,从而BD∥EF,进而BD∥平面EFG,同理AC∥平面EFG.由此能求出此四面体与过E,F,G的截面平行的棱的条数.【解答】解:如图,E、F分别为四面体ABCD的棱BC、CD的中点,∴EF是△BCD中位线,∴BD∥EF,∵BD?平面EFG,EF?平面EFG∴BD∥平面EFG,同理AC∥平面EFG.故此四面体与过E,F,G的截面平行的棱的条数是2.故答案为:2.13.在空间直角坐标系中,若点A(1,2,﹣1),B(﹣3,﹣1,4).则|AB|=_________.参考答案:14.若为等差数列的前n项和,,
,则与的等差中项为____________.参考答案:-6
15.下列四个命题:(1)函数是偶函数;(2)若函数与轴没有交点,则且;(3)函数在上是增函数,在上也是增函数,所以函数在定义域上是增函数;(4)若且,则.其中正确命题的序号是
参考答案:(1).略16.将函数的图象向左平移个单位,得到的图象对应的函数为,若为奇函数,则的最小值为______参考答案:17.集合,,若,则的值为
参考答案:4略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知集合A={x|x2+2x﹣3>0},集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0,a>0}.(Ⅰ)若a=1,求A∩B;(Ⅱ)若A∩B中恰含有一个整数,求实数a的取值范围.参考答案:【考点】交集及其运算.【分析】(Ⅰ)把a=1代入确定出B,求出A与B的交集即可;(Ⅱ)由A与B中恰含有一个整数,确定出a的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)A={x|x2+2x﹣3>0}={x|x>1或x<﹣3},当a=1时,由x2﹣2x﹣1≤0,解得:1﹣≤x≤1+,即B=[1﹣,1+],∴A∩B=(1,1+];(Ⅱ)∵函数y=f(x)=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a>0,f(0)=﹣1<0,且A∩B中恰含有一个整数,∴根据对称性可知这个整数为2,∴f(2)≤0且f(3)>0,即,解得:≤a<.19.已知函数f(x)=lg(3+x)+lg(3﹣x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性.参考答案:【考点】函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法.【专题】函数的性质及应用.【分析】(1)欲使f(x)有意义,须有,解出即可;(2)利用函数奇偶性的定义即可作出判断;【解答】解:(1)依题意有,解得﹣3<x<3,所以函数f(x)的定义域是{x|﹣3<x<3}.(2)由(1)知f(x)定义域关于原点对称,∵f(x)=lg(3+x)+lg(3﹣x)=lg(9﹣x2),∴f(﹣x)=lg(9﹣(﹣x)2)=lg(9﹣x2)=f(x),∴函数f(x)为偶函数.【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断,属基础题,定义是解决函数奇偶性的基本方法.20.设常数函数(1)若求函数的反函数(2)根据a的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.参考答案:(1)(2)时,是偶函数;时,是奇函数;当且时,为非奇非偶函数,理由见解析【分析】(1)根据反函数的定义,即可求出;
(2)利用分类讨论的思想,若为偶函数,求出的值,若为奇函数,求出的值,问题得以解决.【详解】解:(1)∵,
∴
,
,
∴调换的位置可得,.所以函数的反函数
(2)若为偶函数,则对任意均成立,
,整理可得.不恒为0,,此时,满足为偶函数;
若为奇函数,则对任意均成立,
,整理可得,,,,
此时,满足条件;
当且时,为非奇非偶函数,
综上所述,时,是偶函数;时,是奇函数;当且时,为非奇非偶函数。【点睛】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题.21.(本题满分12分)设等比数列{}的前项和,首项,公比.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若数列{}满足,,求数列{}的通项公式;(Ⅲ)若,记,数列{}的前项和为,求证:当时,.参考答案:解:(Ⅰ)
而
所以
…3分(Ⅱ),,
……………5分是首项为,公差为1的等差数列,,即.
……………7分(Ⅲ)时,,
……………8分相减得,
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