山西省忻州市五寨县小河头联校2021年高三数学文测试题含解析

山西省忻州市五寨县小河头联校2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若不等式组表示的平面区域为，表示的平面区域为，现随机向内抛掷一颗豆粒，则该豆粒落在区域内的概率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A2.设函数的导函数为,且,则(

)A.0

B.2

C.－4

D.－2参考答案：C因为，所以f′(x)=2x+2f′(1)，所以f′(1)=2+2f′(1)，所以f′(1)=－2，所以f′(x)=2x－4，所以f′(0)=－4，故选C.

3.在圆内，过点（，）有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差为d∈[，]，那么n的取值集合为A.{4,5,6,7}

B.{4,5,6}

C.{3,4,5,6}

D.{3.4.5,6,7}参考答案：A圆的标准方程为，所以圆心为，半径，则最大的弦为直径，即，当圆心到弦的距离为时，即点（，）为垂足时，弦长最小为4，即，所以由得，，因为，所以，即，所以，即，选A.4.若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α），则sin2α的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：C【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件化简可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，从而解得sin2α的值．【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，故答案为：C．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．5.设数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1，则a5的值为（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：B【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】利用数列的前n项的和与第n项的关系可得a5=S5﹣S4=24﹣23，运算求得结果．【解答】解：数列{an}的前n项和，则a5=S5﹣S4=24﹣23=8，故选B．6.使“”成立的一个充分不必要条件是

（

）A．

B．C．

D．1参考答案：B7.设是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是

A．若

B．若

C．若

D．若参考答案：B略8.函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为(

)A．[﹣1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[﹣1，0]参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域．【解答】解：∵函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，则0≤2x≤2，即﹣1≤2x﹣1≤1，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域．9.已知且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：A【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0∴f（a）=﹣2∵2x＞0∴x+1=﹣2解得x=﹣3故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若方程有两个实数根，则实数的取值范围是

．参考答案：或．解：令，当时，，当时，

综上作出它的图象，要使它与直线有两个不同的交点，则直线必须通过蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或．12.如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于

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_．参考答案：13.圆锥的侧面积与过轴的截面积之比为,则母线与轴的夹角大小为

参考答案：试题分析：设圆锥的母线长，半径为,高为圆锥的侧面积为过轴截面面积为所以所以母线与轴的夹角大小为考点：圆锥的结构特征.14.执行如图所示的程序框图，则输出k的值为．参考答案：7【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+2+4+…＜100时，k+1的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+2+4+…＜100时，k+1的值．由于2+4+…+25＜100，k=6；满足判断框的条件，继续运行，2+4+…+26＞100，k=7，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为7．故715.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为，动点分别在和上，且，则过三点的动圆扫过的区域的面积为

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．参考答案：18π略16.

已知函数，若，则实数x的取值范围是

.参考答案：(1,2)17.曲线在点(-1，-1)处的切线方程为_______________.参考答案：y=2x+1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知：常数，A为定直线上任一点，一定点F（a，0）。过A作l的垂线与线段AF的中垂线交于点P（x，y）；直线与圆D：交于M、N两点，的面积为S.（1）求点P的轨迹C的方程；（2）试用关于参数a的函数表示S的最小值；（3）当｜MN｜取最小值时，试求S的最小值。参考答案：（1）依题意，知｜PA｜＝｜PF｜，所以动点P的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物。所以其方程为：。（2）依题意知，圆D半径为2，圆心为（－2，2）。所以｜MN｜＝，设点P，则点P到直线的距离，所以当y＝2时，。（3）因为直线过圆D内定点R（－3，3），当时，｜MN｜取最小值，此时，直线DR斜率为－1，所以直线斜率为1，则。所以此时，｜MN｜＝，，则。19.已知为的三个内角的对边，向量，,

⊥．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若，，求的值．参考答案：（I）

（II）， 综上20.已知椭圆的离心率为，过右顶点的直线与椭圆相交于两点，且.（1）求椭圆和直线的方程；（2）记曲线在直线下方的部分与线段所围成的平面区域（含边界）为．若曲线与有公共点，试求实数的最小值．参考答案：（1）由离心率，得，即.

①

又点在椭圆上，即.

②解①②得，故所求椭圆方程为.由得直线l的方程为

（2）曲线，即圆，其圆心坐标为，半径，表示圆心在直线上，半径为的动圆.由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形.设与直线l相切于点T，则由，得，当时，过点与直线l垂直的直线的方程为，解方程组得.因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点，由图可知当过点B时，m取得最小值，即，解得.21.某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：解答： 解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．因为事件A，B互斥，所以．故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．其中，，．所以ξ的分布列是：

ξ 0 1 2p 所以．略22.已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．参考答案：【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出函数f（x）的最小正周期，利用正弦函数的值域确定出f（x）最小值即可；（Ⅱ）由f（C）=0及第一问化简得到的解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出关系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣（cos2x+1）﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣）﹣2，∵ω=2，﹣1≤sin（2x﹣）≤1，∴f（x）的最小正周