山西省太原市师爱中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

山西省太原市师爱中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A．6 B．8C．10 D．12参考答案：C2.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（

）A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线参考答案：【标准答案】:D【试题分析】:把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。【高考考点】:二次曲线（圆锥曲线）的定义。【易错提醒】:没有转化的意识【备考提示】:基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。3.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（

）A.1

B.

C.

D.参考答案：D.试题分析：由题意得，，∴，∴，∴，故选D.考点：三角恒等变形.4.以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是（）数据31，12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35参考答案：D【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】将数据从小到大按顺序排成一列，结合中位线和极差的定义进行求解即可．【解答】解：将数据从小到大按顺序排成一列为12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11个数据，则中位数为第6个数28，最大值为47，最小值为12，则极差47﹣12=35，故选：D．5.已知函数，在区间内任取两个数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．[8,+∞)

B．(3,8]

C.[15,+∞)

D．[8,15]参考答案：C6.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则函数g（x）=f（x）－x+3的零点的集合为A．{1，3} B．{-3，-1，1，3}C．{2，1，3}

D．{－2，1，3}参考答案：【知识点】函数的奇偶性函数零点B4B9D∵是定义在R上的奇函数，当时，可得的解析式为：则∵∴，令当时，，解得，或，当时，，解得（舍去）

∴函数的零点的集合为．故选择D.【思路点拨】首先根据是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决7.（2009江西卷理）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的为

A．

B．

C．

D．参考答案：C解析：前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以、、，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以，则，选C8.直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B． C． D．参考答案：B【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选B．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．9.已知是实数，是纯虚数，则等于

（

）

A．

B．1

C．

D．参考答案：B10.在△ABC中，点满足，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若，，则的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】如下图所示：，即，，，，，，，、、三点共线，则.，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角的对边分别为，且，，，则的面积为

．参考答案：由可知，，即，故，故，又，则，故，因为，所以．又因为，所以，所以.12.已知抛物线经过圆的圆心，则抛物线的准线与圆相交所得的弦长为

．【知识点】圆的标准方程抛物线的几何性质H3

H7参考答案：圆的标准方程为，圆心坐标，代入抛物线方程可得，所以其准线方程为，圆心到直线的距离，所以抛物线的准线与圆相交所得的弦长为：.故答案为.【思路点拨】将圆的方程化为标准方程可得圆心，代入抛物线方程可得，即其准线为，根据圆的弦长公式可求得弦长.13.已知且与垂直，则实数的为

.参考答案：略14.函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是

参考答案：当时，函数在上没有零点，所以，所以根据根的存在定理可得，即，所以，解得，所以实数的取值范围是。15.已知0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，则sinx+cosx=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】由x的范围，可得﹣＜2x﹣＜0，可得cos（2x﹣）的值，再由sin2x=sin[（2x﹣）+]，运用两角和的正弦公式，以及sinx+cosx=，计算即可得到所求值．【解答】解：0＜x＜，且sin（2x﹣）=﹣，可得﹣＜2x﹣＜0，则cos（2x﹣）==，即有sin2x=sin[（2x﹣）+]=[sin（2x﹣）+cos（2x﹣）]=×（﹣+）=，则sinx+cosx====．故答案为：．16.已知x,y满足条件则的最小值为

;参考答案：略17.在平行四边形中,点是的中点,与相交于点,若,则的值为

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知fn(x)＝(1＋2)n，n∈N*.(1)若g(x)＝f4(x)＋f5(x)＋f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．参考答案：19.已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．若csinA=acosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）由，利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，于是，即可得出；（II）由sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），可得sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，联立解出，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，sinA≠0，∴，得，∵C∈（0，π），∴．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，sinC=sin（A+B），∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵△ABC为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a

（1）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，（2）由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知，，α，β均为锐角．（1）求sin2α的值；（2）求sinβ的值．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，∴．（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），∴，∴．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．21.已知集合（1）当时，求；（2），若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.参考答案：（1）

（2）略22.选修4-4：坐