山西省大同市第第四中学高三数学理模拟试题含解析

山西省大同市第第四中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，,则E的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）2参考答案：A离心率，由正弦定理得．故选A．

2.=

A．2

B．4

C．π

D．2π参考答案：A3.已知复数,则复数在复平面内对应的点在

(

)A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D略4.如果函数f（x）=3sin（2x+?）的图象关于直线对称，那么|φ|的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦函数的对称性．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，可得f（0）=f（），由此求得|φ|的最小值．【解答】解：函数f（x）=3sin（2x+?）的图象关于直线对称，则f（0）=f（），即3sin?=3sin（+?），即sin?=sin（+?）=cos?+（﹣）sin?，∴tan?=，∴|?|的最小值为，故选：B．5.设集合，则C中元素的个数是A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：B6.已知在R上是奇函数,且（

）A．

B．2

C．

D．98参考答案：A7.已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式

恒成立，则不等式的解集为

(

)

A.

B.

B.

D.参考答案：D略8.的零点一定位于以下的区间为

（

）A．(1,2)

B．(2,3)

C．(3,4)

D．(4,5)参考答案：B9.已知集合，集合，则的子集个数为（

）A．1

B．

2

C．3

D．4参考答案：D，所以，其子集个数为，选D.10.执行如图所示的程序框图，当a=2，b=3时，输出s值为（）A．6 B．8 C．24 D．36参考答案：B【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2，b=3k=2，s=1不满足条件k≥ab﹣2=6，执行循环体，s=2，k=4不满足条件k≥ab﹣2=6，执行循环体，s=8，k=6满足条件k≥ab﹣2=6，退出循环，输出s的值为8．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知若使得成立，则实数a的取值范围是

。参考答案：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时取得极小值即最小值。函数的最大值为，若使得成立，则有的最大值大于或等于的最小值，即。12.已知的三边分别是、、，且面积，则角=

____参考答案：的面积，由得，所以，又，所以，即，13.复数1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第象限．参考答案：四略14.抛物线上的点P到两直线的距离之和的最小值为

．参考答案：315.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心。若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________参考答案：（1）(,1)（2）201316.曲线在点（1，1）处的切线方程为.参考答案：，故切线方程的斜率又，故曲线在点处的切线方程为整理得即答案为17.过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=

．参考答案：4【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．参考答案：【考点】正弦定理；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x），利用周期公式、单调性即可得出．（2）（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，再利用和差公式可得：B，可得A∈，即可得出．【解答】解：（1）f（x）=sin（2ωx）+cos（2ωx）=，∴4π=，解得ω=．∴f（x）=sin．由+2kπ≤+≤+2kπ，解得4kπ﹣≤x≤+4kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，+4kπ]，k∈Z．（2）（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，∴cosB=，B∈（0，π），∴B=．函数f（A）=sin，∵A∈，∈．∴f（A）=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图4，已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB

于点D，弦BE与CD,AC分别交于点M,N，且MN=MC.

（1）求证：MN=MB；

（2）求证：OC⊥MN.参考答案：【知识点】与圆有关的比例线段．L4

【答案解析】（1）见解析；（2）见解析。解析：（1）连接AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°.∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC.

2分又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN,∴∠EAC=∠DCB.

3分∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，∴MB=MC.∴MN=MB.

5分（2）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.

6分由（1）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM.

8分又∵∠DMB=∠FMC,∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°.∴OC⊥MN.

10分【思路点拨】（1）连结AE，BC，根据直径所对的圆周角是直角，得∠AEB=90°，根据等量代换得∠MBC=∠MCB，最后利用三角形的性质即可得出MB=MC，从而得到MN=MB；（2）设OC∩BE=F，根据OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由（1）知，∠MBC=∠MCB，等量代换得∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°即可证出结论．20.（12分）已知函数f（x）=lnx﹣px+1（p∈R）．（1）当p＞时，f（x）在区间[1，e]上的最大值为﹣1，求P的值；（2）若对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，有f（x1）﹣x22＜f（x2）﹣x12成立，求p的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得＜e，然后分0＜＜1和1≤＜e求得函数的单调区间，进一步求得f（x）在区间[1，e]上的最大值，由最大值为﹣1求P的值；（2）由f（x1）﹣x22＜f（x2）﹣x12成立，得f（x1）+x12＜f（x2）+x22成立，构造函数g（x）=f（x）+x2，由题意可得函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．转化为△=p2﹣8≤0或，求解即可得到p的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣px+1，x＞0，∴f′（x）=﹣p==，∵p＞，∴＜e，当0＜＜1时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）max=f（1）=1﹣p=﹣1，解得p=2，满足题意；当1≤＜e时，若f′（x）＞0时，即1≤x＜，函数单调递增，若f′（x）＜0时，即＜x≤e，函数单调递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣1+1＜﹣1，舍去．综上可得：p=2；（2）由f（x1）﹣x22＜f（x2）﹣x12成立，得f（x1）+x12＜f（x2）+x22成立，构造函数g（x）=f（x）+x2，∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∵g（x）=f（x）+x2=lnx﹣px+1+x2，∴g′（x）=（x＞0），则h（x）=2x2﹣px+1≥0在（0，+∞）上恒成立．∴△=p2﹣8≤0或，解得p．∴p的取值范围是（﹣∞，]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，训练了函数构造法，属中档题．21.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为平方米．（1）设试验田的面积为，，求函数的解析式；（2）求试验田占地面积的最小