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山西省大同市浑源县第二中学2023年高一数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.要得到函数的图象,只需图象:A、向右平移个单位
B、向左平移个单位C、向右平移个单位
D、向左平移个单位参考答案:A略2.三角形△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么△ABC是()A.直角三角形 B.等边三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形参考答案:A【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.【分析】由余弦定理易得A=,再由和差角公式可得B=,可判三角形形状.【解答】解:△ABC中,∵(a+b+c)(b+c﹣a)=3bc,∴(b+c)2﹣a2=3bc,∴b2+c2﹣a2=bc,∴cosA==,∴A=,又∵sinA=sinBcosC,∴sin(B+C)=sinBcosC,∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC,∴cosBsinC=0,∴cosB=0,B=,∴△ABC是直角三角形.故选:A.3.函数)的部分图象如图所示,则的值分别为(
)A.2,0
B.2,
C.2,
D.2,参考答案:D4.已知α∈(0,π),且,则tanα=()A. B. C. D.参考答案:D【分析】根据角的范围,利用同角的三角函数关系式即可求值.【解答】解:∵α∈(0,π),且,∴tanα=﹣=﹣=.故选:D.【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系式的应用,考查了计算能力,属于基础题.5.下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是()A.y=2x B.y=﹣x3 C. D.参考答案:C【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可.【解答】解:对于A,不是奇函数;对于B,不是增函数;对于C,既是奇函数又是增函数;对于D,不是增函数;故选:C.6.设,则
(
)A、
B、
C、
D、参考答案:C7.已知函数满足下列条件:①定义域为[1,+∞);②当时;③.若关于x的方程恰有3个实数解,则实数k的取值范围是A.
B.
C.
D.参考答案:D因为,当时;所以可作函数在上图像,如图,而直线过定点A(1,0),根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为,
8.如图,已知等于()A. B. C. D.参考答案:C【考点】9V:向量在几何中的应用.【分析】将向量转化成,向量转化成,然后化简整理即可求出所求.【解答】解:∵∴=()化简整理得=﹣+故选C.9.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是()A.(﹣1,1) B.(0,1) C.(﹣1,0)∪(0,1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)参考答案:C【考点】函数单调性的性质.【分析】由函数的单调性可得||与1的大小,转化为解绝对值不等式即可.【解答】解:由已知得解得﹣1<x<0或0<x<1,故选C10.下列各组函数中,表示同一个函数的是A.与
B.与C.与
D.与参考答案:D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆心是A(2,–3),半径长等于5的圆的标准方程是
;参考答案:略12.已知,=,·,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设(m,n∈R),则=________.参考答案:略13.等比数列的前项和为,已知,,成等差数列,则的公比为.参考答案:
14.函数的定义域是.参考答案:[0,)【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由偶次根式被开方数非负和正切函数的定义域,可得x≠kπ+,k∈Z,且πx﹣2x2≥0,解不等式即可得到所求.【解答】解:由x≠kπ+,k∈Z,且πx﹣2x2≥0,可得0≤x<,故定义域为[0,).故答案为:[0,).【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意偶次根式被开方数非负和正切函数的定义域,考查运算能力,属于基础题.15.(3分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于
.参考答案:考点: 直线与平面所成的角.专题: 综合题;空间角.分析: 先求出点A1到底面的距离A1D的长度,即知点B1到底面的距离B1E的长度,再求出AB1的长度,在直角三角形AEB1中,即可求得结论.解答: 由题意不妨令棱长为2,如图,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,故DA=,由勾股定理得A1D==过B1作B1E⊥平面ABC,则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角,且B1E=,如图作A1S⊥AB于中点S,∴A1S=,∴AB1==∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==.故答案为:点评: 本题考查线面角,考查学生的计算能力,作出线面角是关键.16.若函数的图象与
轴有两个交点,则的取值范围是____参考答案:且略17.(3分)已知lg2=a,lg3=b,试用a,b表示lg6=
.参考答案:a+b考点: 对数的运算性质.专题: 函数的性质及应用.分析: 利用对数的运算性质把要求的式子化为lg(2×3)=lg2+lg3,再把已知条件代入求得结果.解答: 原式=lg(2×3)=lg2+lg3=a+b.故答案为:a+b.点评: 本题主要考查对数的运算性质,属于基础题.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知直三棱柱中,,是中点,是中点.(Ⅰ)求三棱柱的体积;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)求证:∥面.参考答案:(Ⅰ)
---------------------------------3分(Ⅱ)∵,∴为等腰三角形∵为中点,∴
---------------------------------4分∵为直棱柱,∴面面
------------------------5分∵面面,面,∴面---------------------------------6分∴
---------------------------7分(Ⅲ)取中点,连结,,--------8分∵分别为的中点∴∥,∥,-----------------9分∴面∥面
-----------------------11分面∴∥面.
-----------------------------12分19.在平面直角坐标系中,已知向量=(﹣1,2),又点A(8,0),B(﹣8,t),C(8sinθ,t).(I)若⊥求向量的坐标;(Ⅱ)若向量与向量共线,当tsinθ取最大值时,求.参考答案:【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系;9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】(Ⅰ)由题目给出的点的坐标写出用到的向量的坐标,然后直接利用向量垂直的坐标表示列式计算;(Ⅱ)求出向量的坐标,由向量与向量共线列式得到t与sinθ的关系,两边同时乘以sinθ后配方计算tsinθ取最大值,并求出此时的,代入数量及公式即可得到答案.【解答】解:(Ⅰ)由A(8,0),B(﹣8,t),所以,=(﹣1,2),又⊥,所以16+2t=0,t=﹣8.故.(Ⅱ)由A(8,0),C(8sinθ,t),所以,=(﹣1,2),又向量与向量共线,所以,t=16﹣16sinθ,.故当时,tsinθ取最大值,此时.所以,.20.(本题14分)⑴已知,当时,求函数的值域.⑵若函数(在上的最大值是最小值的3倍,求a的值。参考答案:⑴由当={x︳x≤1}时,即,此时故函数的值域为.⑵当a>1时,在[a,2a]上单调递增,∴f(x)的最小值为
f(x)的最大值为∴
解得
ks5u
21.(本小题满分10分).已知集合A=,B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集R.(Ⅰ)求A∪B,(CRA)∩B;(Ⅱ)如果A∩C≠φ,求a的取值范围.参考答案:22.已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,,在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.(1)若依次成等差数列,且公差为2.求c的值;(2)若,,试用表示△ABC的周长,并求周长的最大值参考答案:(1)或.(2),试题分析:(1)由题意可得a=c-4、b=c-2.又因∠MCN=π,,可得恒等变形得c2-9c+14=0,再结合c>4,可得c的值.(2)在△ABC中,由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=,△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=
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