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山西省大同市机厂中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施个程序,其中程序只能出现在第一或最后一步,程序和在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有(
)A.种
B.种
C.种
D.种参考答案:C略2.已知直线经过点,则的最小值为(A)
(B)
(C)4
(D)参考答案:B因为直线经过点,所以,则.故选B3.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略4.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,,则f(-1)=()A.2
B.1
C.0
D.-2参考答案:D5.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且,则(
)A. B.C. D.参考答案:C6.过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围为(
)A.或
B.
C.
或
D.或参考答案:D略7.已知函数是上的偶函数,若对于,都有且当时,的值为(
)
A.-2
B.-1
C.2
D.1参考答案:D略8.若函数,则对于不同的实数,则函数的单调区间个数不可能是(
)A.1个
B.
2个
C.3个
D.5个参考答案:B9.(5分)某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为()A.9B.18C.27D.36参考答案:B【考点】:分层抽样方法.【专题】:计算题.【分析】:根据条件中职工总数和青年职工人数,以及中年和老年职工的关系列出方程,解出老年职工的人数,根据青年职工在样本中的个数,算出每个个体被抽到的概率,用概率乘以老年职工的个数,得到结果.解:设老年职工有x人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,则中年职工有2x,∵x+2x+160=430,∴x=90,即由比例可得该单位老年职工共有90人,∵在抽取的样本中有青年职工32人,∴每个个体被抽到的概率是=,用分层抽样的比例应抽取×90=18人.故选B.【点评】:本题是一个分层抽样问题,容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆.抽样方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分点,不容错过.10.对于函数若对于任意存在使得且,则称为“兄弟函数”.已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数在区间上的最大值为
(A)
(B)2
(C)4
(D)参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列{an)满足an+1+an=3?2n﹣1,n∈N*,设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式Sn>kan﹣2对一切n∈N*恒成立,则实数k的取值范围为.参考答案:(﹣∞,)【考点】8K:数列与不等式的综合.【分析】根据等比数列的定义推知公比q=2,然后由等比数列的通项公式得到an=3?2n﹣1,n∈N*.进而根据等比数列的前n项和公式求得Sn===3(2n﹣1);最后由不等式的性质和函数的单调性来求k的取值范围即可.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵an+1+an=9?2n﹣1,n∈N*,∴a2+a1=9,a3+a2=18,∴q===2,∴2a1+a1=9,∴a1=3.∴an=3?2n﹣1,n∈N*.则Sn===3(2n﹣1),∴3(2n﹣1)>k?3?2n﹣1﹣2,∴k<2﹣.令f(n)=2﹣,则f(n)随n的增大而增大,∴f(n)min=f(1)=2﹣=,∴k<.∴实数k的取值范围为(﹣∞,).故答案是:(﹣∞,).【点评】本题考查了数列与不等式的综合.根据已知等式an+1+an=3?2n﹣1和等比数列的定义以及等比数列的前n项和公式推知an=3?2n﹣1,n∈N*.Sn=3(2n﹣1)是解题的关键,考查计算能力.12.如图,平行四边形ABCD中,E为CD中点,F在线段BC上,且BC=3BF。已知,则x的值为___________.参考答案:略13.已知函数,若,则实数a的取值范围是___________.参考答案:.当,当,故.14.平面区域,若向区域内随机投一点,则点落入区域的概率为
.参考答案:15.某学生对函数的性质进行研究,得出如下的结论:①函数在上单调递增,在上单调递减;②点是函数图象的一个对称中心;③函数图象关于直线对称;④存在常数,使对一切实数均成立.其中正确的结论是__________.(填写所有你认为正确结论的序号)参考答案:④略16.已知,,的夹角为,则___________.参考答案:17.已知的夹角为锐角,则的取值范围是________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知矩阵A=,向量=[].求向量,使得A2=.参考答案:【考点】矩阵变换的性质.【专题】计算题.【分析】由已知中A=,=,设向量=则由矩阵变换法则,可得一个关于x,y的方程组,解得向量【解答】解:∵A=,∴A2==…设=,则∵=∴A2=,即=即=…∴解得:∴=…【点评】本题考查的知识点是矩阵变换的性质,其中根据矩阵变换法则,设出向量后,构造关于x,y的方程组,是解答的关键.19.(12分)已知数列,其中记数列的前n项和为数列的前n项和为(Ⅰ)求;(Ⅱ)设
(其中为的导函数),计算参考答案:本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运算的能力,同时考查分类讨论的思想方法,解析:(Ⅰ)由题意,是首项为,公差为的等差数列
前项和,(Ⅱ)
20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,,,△PAB与△PAD均为等边三角形,点E为CD的中点.(1)证明:平面PAE⊥平面ABCD;(2)试问在线段PC上是否存在点F,使二面角F-BE-C的余弦值为,若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.参考答案:(1)见解析(2)点F为PC的中点试题解析:(1)证明:连接BD,由于AB∥CD,点E为CD的中点,,∴四边形ABED为正方形,可得设BD与AE相交于点O又∵△与△均为等边三角形∴在等腰△中,点O为BD的中点∴,且AE与PO相交于点O,可得平面又∵平面ABCD∴平面平面ABCD.
(2)由,△与△均为等边三角形,四边形ABED为正方形,BD与AE相交于点O,可知,,所以,又平面平面ABCD,所以平面ABCD,以点O为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.可得,,,设点的坐标为,,由,,可得,故,设为平面的一个法向量,则,得,平面的一个法向量为,由已知,解得所以,在线段上存在点,使二面角的余弦值为,且点为的中点.21.在直角坐标系中,曲线的参数方程为,(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为,(1)求出和的直角坐标方程;(2)设点在上,点在上,求的最小值及此时点的直角坐标.参考答案:(1),.(2)此时.22.(本小题满分13分)已知函数f(x)=a(lnx-x)(aR)。(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数g(x)=在区间(2,3)上总存在极值,求实数m的取值范围。参考答案:(Ⅰ)易知的定义域为.………1分当时,
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