山西省大同市开发区中学2023年高三数学理期末试题含解析

山西省大同市开发区中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则进而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．故选C．【点评】本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．2.设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到a2与c2的关系，从而可求得该双曲线的离心率．【解答】解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF1|﹣|PF2||=2a，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|=4a2，不妨设|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|?|PF2|=y，上式为：x﹣2y=4a2，①∵∠F1PF2=60°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|?cos60°=4c2，②即x﹣y=4c2，②又|OP|=3b，+=2，∴2+2+2||?||?cos60°=4||2=36b2，即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|?|PF2|=36b2，即x+y=36b2，③由②+③得：2x=4c2+36b2，①+③×2得：3x=4a2+72b2，于是有12c2+108b2=8a2+144b2，∴=，∴e==．故选：D．3.将函数y=3sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，]上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减参考答案：D【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得所得图象对应的函数解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：将函数y=3sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数解析式为y=3sin（2x++）=3cos（2x+），在区间[，]上，2x+∈[，]，所得函数y=3cos（2x+）没有单调性，故排除A、B．在区间上，2x+∈，所得函数y=3cos（2x+）单调递减，故排除C，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．4.在△ABC中，所对的边长分别是，且则c＝（

）A．1

B．2

C．

D．参考答案：B略5.二项式的展开式中常数项为

；参考答案：6.若将函数f（x）=1+sinωx（0＜ω＜4，ω∈Z）的图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）的图象的一条对称轴方程为x=，则分f（x）的最小正周期为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，求得ω的值，进而利用正弦函数的周期公式即可计算得解．【解答】解：将函数f（x）=1+sinωx的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的解析式为：y=g（x）=sin[ω（x﹣）]+1=sin（ωx﹣）+1，∵y=g（x）的图象的一条对称轴方程为x=，∴ω﹣=kπ+，k∈Z，解得：ω=6k+3，k∈Z，∵0＜ω＜4，∴ω=3，可得：f（x）=1+sin3x，∴f（x）的最小正周期为T=．故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数图象的对称性，三角函数周期公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7.若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．1 B．2 C． D．3参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z，则直线y=﹣2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=﹣x+b上，即2=﹣1+b，解得b=3，故选：D8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1），给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函数f（x）有2个零点；③f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据f（x）为奇函数，设x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正确；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零点，判定②错误；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判断③正确；分别对x＜0和x＞0时的f（x）求导，根据导数符号判断f（x）的单调性，根据单调性求f（x）的值域，可得?x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正确．【解答】解：对于①，f（x）为R上的奇函数，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正确；对于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3个零点，②错误；对于③，x＜0时，f（x）=ex（x+1），易得x＜﹣1时，f（x）＜0；x＞0时，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1时，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正确；对于④，x＜0时，f′（x）=ex（x+2），得x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；∴x=﹣2时，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0时，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；x=2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正确；综上，正确的命题是①③④，共3个．故选：B．9.若为虚数单位，且，则Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C本题考查复数乘法的计算，难度较低。由得，所以a=1,b=-1,选择C。10.已知i是虚数单位，则（

）A.2+i

B.2-i

C.1+2i

D.1-2i

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为（），曲线C在点（2，）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为

▲

.参考答案：12.利用导数求切线斜率.14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的：“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为__________．（参考数据：参考答案：考点：1、程序框图；2、循环结构.13.据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为

．参考答案：14【考点】程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的x，s的值，当s=14时满足条件s＞5，输出S的值14即可．【解答】解：输入x=1，s=0，s=1≤5，x=2，s=1+4=5≤5，x=3，s=5+9=14＞5，输出s=14，故答案为：14．14.已知（为常数），在上有最小值3，那么在上的最大值是__________．参考答案：考点：导数与最值.15.复数，且是纯虚数，则实数的值为_________.参考答案：16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为

．参考答案：3

17.函数f(x)＝cos(π＋2x)－sinx的最大值为________。参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知数列满足递推关系式

（Ⅰ）求

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）求数列的前n项和S-n.参考答案：解：（1）由知解得：同理得……4分（2）…………8分（3）…………12分19.(14分)设是函数的一个极值点。

（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围。参考答案：解析：（1）∵

∴

2分

由题意得：，即，

3分

∴且

令得，

∵是函数的一个极值点

∴，即

故与的关系式为

5分（Ⅰ）当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；（Ⅰ）当时，，由得单增区间为：；

由得单减区间为：、；

8分（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，∴在上的值域为

10分易知在上是增函数∴在上的值域为

12分由于，又∵要存在，使得成立，∴必须且只须解得：

所以：的取值范围为

14分20.已知函数．（1）当时，求不等