山西省大同市平旺乡中学2023年高二数学理期末试卷含解析

山西省大同市平旺乡中学2023年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若命题“p∨q”为真，“?p”为真，则（） A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真参考答案：D【考点】复合命题的真假． 【专题】阅读型． 【分析】本题考查的是复合命题的真假问题．在解答时，可先结合条件“p或q”为真命题判断p、q的情况，根据?p为真，由此即可获得p、q的真假情况，得到答案 【解答】解：由题意可知：“p∨q”为真命题， ∴p、q中至少有一个为真， ∵?p为真， ∴p、q全为真时，p且q为真，即“p且q为真”此时成立； 当p假、q真， 故选D． 【点评】本题考查的是复合命题的真假问题．在解答的过程当中充分体现了命题中的或非关系．值得同学们体会反思．属基础题． 2.设（1+i)=1+,其中x，y为实数，则=（

）A.1 B. C. D.2参考答案：B【分析】根据复数相等的充要条件，求得，再由复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意知，复数满足，可得，解得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了复数相等的充要条件，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数相等的充要条件和复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.如图正方体，在下底面中到直线和距离相等的点的轨迹（）A．直线

B．椭圆

C．抛物线

D．双曲线参考答案：D略4.定义为个正数的“均倒数”.若已知正数数列的前项的“均倒数”为,又,则(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：C5.曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2参考答案：D【考点】67：定积分．【分析】作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．【解答】解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2故选D【点评】本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．6.若直线被圆所截得的弦长为,则实数a的值为（

）

A

–1或

B

1或3

C

–2或6

D

0或4参考答案：D7.已知等比数列中，有，数列是等差数列，且，则A．2B．4C．8D．16参考答案：C略8.若则的值为（

）

参考答案：C9.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于等于2的概率是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A平面区域的面积为4，到坐标原点的距离小于等于2的点所到区域为，有几何概型的概率公式可知区域内一个点到坐标原点的距离小于等于2的概率为．10.执行右图程序中，若输出y值为1，则输入x的值为A．0

B．1

C．0或1

D．－1，0或1参考答案：C由题意得或，解得x＝1或x＝0，故选C．考点：程序框图．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数()，则_________。参考答案：【分析】由复数相等的充要条件，求得，进而利用复数的化简，即可求解．【详解】由题意，复数满足，所以，解得，所以复数．【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的运算，其中解答中熟记复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12.已知函数是奇函数，则的值等于

.

参考答案：-113.对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为__________.参考答案：，，令，得.又，所以的对称中心为.14.一个五位数满足且(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，其中五个数字互不相同的五位数共有

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个．参考答案：略15.已知数列的前项和，则数列的通项公式为____________。参考答案：略16.函数的最大值为__________.参考答案：17.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数单调性的性质；函数的单调性及单调区间．【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函数f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上为减函数，∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．设，则∵x∈时，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．19.设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足.（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）当a＝1时，由x2－4x＋3<0，得：1<x<3······①，又由得：，∴2<x≤3······②，∴由①②得：2<x<3，∴x的取值范围为（2，3）.（2）∵p：x2－4ax＋3a2<0，即(x－a)(x－3a)<0（a>0），∴a<x<3a，∴p：x≤a或x≥3a；设A＝（－∞，a]∪[3a，＋∞）；又q：x≤2或x>3，设B＝（－∞，2]∪（3，＋∞），由p是q的充分不必要条件，得：AB，∴，∴1<a≤2，∴实数a的取值范围为（1，2].

略20.（本小题14分）已知定义在[－1，1]上的奇函数，当时，．（Ⅰ）试用函数单调性定义证明：在上是减函数；（Ⅱ）若，，求实数的取值范围；（Ⅲ）要使方程在[－1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）．证：任设，则．，．，即∴在上是减函数.．

……4分

（Ⅱ）由

得：

……8分（Ⅲ）记，则为上的单调递减函数．∴．∵在[－1，1]上为奇函数，∴当时．又，∴，即．

……14分略21.已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（II）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．22.已知函数f（x）=x2++1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=1平行，求a的值；（Ⅱ）若0＜a＜2，求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，由两直线平行的条件：斜率相等，可得切线的斜率，解方程可得a的值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论a的范围，当0＜a≤1时，当1＜a＜2时，求得单调区间，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2++1的导数为f′（x）=2x﹣，在点（1，f（1））处的切线与直线y=1平行，可得2﹣2a3=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2x﹣=，由x∈[1，2]，当0＜a≤1