山西省大同市同煤集团实验中学2022年高三数学理期末试卷含解析

山西省大同市同煤集团实验中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆，直线，圆C上任意一点A到直线的距离小于2的概率为__________.A． B． C． D．参考答案：A2.如图，给出的是的值的一个程序框图，框内应填入的条件是（）A．i≤99 B．i＜99 C．i≥99 D．i＞99参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．【解答】解：∵该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为99，即小于等于99的数满足循环条件，大于99的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：i≤99故选A．3.若满足则下列不等式恒成立的是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（） A． B． C．32π D．8π参考答案：B【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图． 【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球，计算出球的半径，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其外接球相当于一个长，宽，高分别为，，2的长方体的外接球， 故外接球的半径R==， 故球的体积V==， 故选B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 5.函数的单调递增区间是（）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D6.“0＜a＜b”是“”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用．【专题】证明题．【分析】根据底数大于0小于1的指数函数在R上为减函数，先判断“0＜a＜b”?“”的真假，与“”?“0＜a＜b”的真假，然后根据充要条件的定义得到结论．解：当“0＜a＜b”时，“”成立，故“0＜a＜b”是“”的充分条件；当“”时，“a＜b”成立，但“0＜a＜b”不一定成立，故“0＜a＜b”是“”的不必要条件故“0＜a＜b”是“”充分不必要条件故选A【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义及指数函数的单调性，其中根据指数函数的单调性，判断“0＜a＜b”?“”的真假，与“”?“0＜a＜b”的真假，是解答本题的关键．7.已知函数满足：都是偶函数，当时，则下列说法错误的是（

）A、函数在区间[3，4]上单调递减；B、函数没有对称中心；C、方程在上一定有偶数个解；D、函数存在极值点，且；参考答案：D略8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A．4

B．5C．6

D．7参考答案：A9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（）A．60里 B．48里 C．36里 D．24里参考答案：C【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天和第5天共走的路程【解答】解：记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6=，解得：a1=192，∴，此人第4天和第5天共走了24+12=36里．故选：C．10.已知点为△所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在△的内部，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在正方体..中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P﹣ABC的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为

．参考答案：1【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意确定P在主视图中的射影到AB在平面CDD1C1上的射影的距离，P的射影在左视图中到AC在平面BCC1B1三度射影的距离，即可求出主视图与左视图的面积的比值．【解答】解：由题意可知，P在主视图中的射影是在C1D1上，AB在主视图中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距离是正方体的棱长；P在左视图中，的射影是在B1C1上，在左视图中AC在平面BCC1B1三度射影是BC，P的射影到BC的距离是正方体的棱长，所以三棱锥P﹣ABC的主视图与左视图的面积的比值为：=1．故答案为1．12.已知，，，则_____参考答案：【分析】利用诱导公式化简可得，根据角所处的范围和同角三角函数关系可求得和；根据，利用两角和差余弦公式可求得，根据可求得结果.【详解】

，则

，又

本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式求解角度的问题，涉及到诱导公式的应用、同角三角函数值的求解、两角和差余弦公式的应用等知识；关键是能够通过构造的方式，将所求角用已知角表示出来.13.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是，体积为．参考答案：．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为主视图中的五边形，高为4．【解答】解：由三视图可知几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图形状，高为4，∴几何体的表面积为（2+4+4+2+2）×4+（42﹣）×2=76+8．几何体的体积为（42﹣）×4=56．故答案为．【点评】本题考查了常见几何体的结构特征，表面积，体积计算，属于基础题．14.已知集合,对它的非空子集A,先将A中的每个元素分别乘以,再求和(如A={1,3,6},可求得和为),则对M的所有非空子集,这些和的总和是_________________.

参考答案：答案：9615.设为数列的前项和，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为

．参考答案：16.已知实数满足，则的最小值为

．参考答案：17.在中，，，，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受访人数56159105支持发展共享单车人数4512973（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持

不支持

合计

（2）若对年龄在上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，若g（x）在上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；（2）g（x）==+﹣，x∈，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x1，e2）h（x）﹣0+0﹣g′（x）﹣0+0﹣g（x）↓极小值↓极小值↓当1＜a＜时，g（x）在上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，19.（本小题满分12分）如图，为正三角形，平面，，为的中点，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：作的中点，连结．

在中，，又据题意知，．

∴，∴四边形为平行四边形．

∴，又平面，平面．

∴平面．……4分（Ⅱ）∵，∴平面．

在正中，，∴三线两两垂直．

分别以为轴，建系如图．

则，，．

∴，．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则．

∴平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为．

∴．

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………8分20.已知抛物线的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．(1)若当点A的横坐标为3，且为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且，求证：点P的坐标为，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．参考答案：(1)；(2)证明见解析，【分析】（1）由抛物线焦半径公式知，根据等边三角形特点可知，从而得到点坐标；利用中点坐标公式求得中点；根据可构造方程求得，从而得到所求方程；（2）设直线的方程为：，，，将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；利用三点共线，根据向量共线坐标表示可得，代入韦达定理整理得到点坐标；利用为等腰直角三角形可求得，从而构造出方程求得，根据韦达定理的形式可确定的取值范围；利用点到直线距离公式可将问题转化为关于的函数值域的求解问题；利用函数单调性求得所求的范围即可.【详解】（1）由题意知：，等边三角形

中点为：由为等边三角形知：，即轴

，解得：的方程为：（2）设直线的方程为：，，，则由得：

设，则，三点共线

即

为等腰直角三角形

即

，可得：

，又

令，，则在上单调递减

【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用的问题，涉及到抛物线方程的求解、点到直线距离公式的应用、抛物线中取值范围类问题的求解等知识；求解取值范围类问题的常用方法是利用变量表示出所求量，将问题转化为函数值域的求解问题；本题易错点是缺少对于范围的求解，造成取值范围缺少上限.21.已知函数．（1）若，解关于的方程；（2）求函数在[1,e]上的最大值；（3）若存在m，对任意的恒有，试确定a的所有可能值．参考答案：（1）当时，，显然，所以是方程的一个根．………………2分又因为，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，从而，所以是方程的唯一根．

………………4分（2）因为，①当时，恒有，所以在上单调递增，所以；②当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，若，即，；若，即，；若，即，．综上所述，在上的最大值为………10分（3）因为对任意的恒有，所以，（ⅰ）设，则，显然在单调递增，所以，①当时，恒有，所以在恒成立，所以在单调递增，所以，所以符合题意；②当时，有，所以，使得，从而当时，，即在上单调递减，所以，不符合题意；③当时，在恒成立，所以在单调递减，所以，不符合题意.综上，恒成立时，.……………………13分（ⅱ）设，则，在单调递增（建议阅卷忽略，讲评要求