山西省大同市县徐疃乡中学2021年高三数学文月考试卷含解析

山西省大同市县徐疃乡中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（）A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an参考答案：D【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．【解答】解：由题意可得an=1×=，∴Sn==3﹣=3﹣2=3﹣2an，故选D2.下列四个图中,函数的图象可能是

参考答案：C3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍

B．5倍

C．4倍

D．3倍参考答案：A略4.若函数的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是(

)

参考答案：B略5.对于任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如：[3.6]=3，[-3.6]=-4等），设函数f(x)=x-[x]，给出下列四个结论：①f(x)≥0；②f(x)<1；③f(x)是周期函数；④f(x)是偶函数.其中正确结论的个数是（

） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C6.设不等式组所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A由题意知区域M为ΔABC内部，其面积为，区域N为半圆，面积为，∴所求概率为．故选A．

7.已知是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设，，，则的大小关系是()A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知是两条不同的直线，是一个平面，且∥，则下列命题正确的是()A．若∥，则∥

B．若∥，则∥C．若，则

D．若，则参考答案：D9.在等差数列{an}中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）=(

)A． B． C．1 D．﹣1参考答案：A【考点】等差数列的性质；两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质，知道a5是a1与a9的等差中项，得到第五项的值，根据a5是a4与a6的等差中项，得到这两项的值，求出角的正切值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1+a5+a9=，∴3a5=，∴a4+a6=，∴tan（a4+a6）=tan，故选A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差中项的应用，考查特殊角的三角函数值，本题是一个比较简单的综合题目．10.若平面向量与向量的夹角是，且，则(

)A

B

C

D

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°。若=m+n（m，n∈R），则m+n=

参考答案：3由tanα=7可得sinα=，cosα=，根据向量的分解，易得，即，即，即得，，所以m+n=3.12.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为

．参考答案：-113.动点P与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为A，B，C，D（逆时针方向），且P点到A，B，C的距离分别为a，b，c。若a2+b2=c2，则点P的轨迹是___________；P点到D点的最大距离为___________。参考答案：圆x2+（y+1）2=2；2+14.一个幼儿园的母亲节联谊会上，有5个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了5个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机任取一个信封，则恰好有两个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为

．参考答案：15.已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，?=﹣，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=，当Sn最大时，n=．参考答案：8或9【考点】数列的求和；平面向量的基本定理及其意义．【专题】等差数列与等比数列；平面向量及应用．【分析】由已知条件采用累加法求得=+（n﹣1），求出?的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．【解答】解：∵=，∴向量为首项为，公差为的等差数列，则=+（n﹣1），则?=?[+（n﹣1）]=2+（n﹣1）?=4（n﹣1）=，由?=≥0，解得n≤9，即当n=9时，?=0，则当n=8或9时，Sn最大，故答案为：8或9．【点评】本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题16.如图所示，一游泳者与游泳池边AB成60°的方向向游泳池里直线游了10米,然后任意选择一个方向继续直线游下去,则他再游不超过10米就能够回到游泳池边AB的概率是

。参考答案：。如图所示为该游泳者再游不超过10米就能够回到游泳池边AB边的区域，根据几何概型公式得。17.（5分）（2015?泰州一模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4，则△ABC的面积的最大值为．参考答案：【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．解：由∠B=∠C得b=c，代入7a2+b2+c2=4得，7a2+2b2=4，即2b2=4﹣7a2，由余弦定理得，cosC==，所以sinC===，则△ABC的面积S===a==×≤××==，当且仅当15a2=8﹣15a2取等号，此时a2=，所以△ABC的面积的最大值为，故答案为：．【点评】：本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当＜

时，求实数取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由题意知，所以．即．·····························2分又因为，所以，．故椭圆的方程为．····················4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设：，，，，由得.，.···············6分，.∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴.··························8分∵＜，∴，∴∴，∴，∴.·················10分∴，∵，∴，∴或，∴实数取值范围为.··············12分(注意：可设直线方程为，但需要讨论或两种情况)略19.（15分）（1）求以为渐近线，且过点的双曲线的方程；（2）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的方程；（3）椭圆上有两点，，为坐标原点，若直线，斜率之积为，求证：

为定值．

参考答案：（1）设双曲线方程为将代入，得，得双曲线A：……………3分（2）椭圆的顶点为，焦点为，，椭圆B：…6分（3）设，，由，得，…10分同理可得，…………15分

20.如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，∠ACB=90°，AA’=BC=2AC=4.(1)若点P为AA’的中点，求证：平面B’CP⊥平面B’C’P；(2)在棱AA’上是否存在一点P，使得二面角B’-CP-C’的大小为60°，若存在，求出AP的值；若不存在，说明理由.参考答案：(1)要证明面面垂直，先要证线面垂直BC//B’C’⊥平面AA’C’C，因此B’C’⊥CP在直角三角形中求斜边得C’P=CP=由可知C’P⊥CP综上，CP⊥平面C’B’P，从而，平面B’CP⊥平面B’C’P(2)以C为原点建系，设AP=a，则C(0,0,0)，P(2,0,a)，C’(0,0,4)，B’(0,4,4)平面C’CP的法向量为C’B’=(0,4,0)，设平面B’CP的法向量为m=(x,y,z)则解得m=(a,2,-2)解得a=<4（棱长）因此，侧棱上存在一点P满足题意21.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性

5

女性10

合计

50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整； （Ⅱ）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由； （Ⅲ）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽．若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记ξ表示抽到喜欢瑜伽的人数，求ξ的分布列和数学期望． 下面的临界值表仅供参考： P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d） 参考答案：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，可得喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而可得列联表； （Ⅱ）利用列联表，计算，与临界值比较，可得结论； （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）∵在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是． ∴喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：

喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性20525女性101525合计302050（Ⅱ） ∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关； （Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，则 P（ξ=0）==；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）= ∴ξ的分布列为

ξ0123P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=． 【点评】本题考查概率与统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算概率是关键． 22.（14分）如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

参考答案：解析：（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立