直角坐标系求面积

求坐标系中图形的面积

四平六中

徐亚恒

问题1：求下列条件下线段AB的长度.1）A(－6，0)，B(－2，0)2）A(－3，0)，B(2，0)3）A(1，0)，B(5，0).4）A(x1，0)，B(x2，0).5）A(0，y1)，B(0

，y2).Oxy

-5-4-3-2-1123454321-1-2-3-4如图（1），△AOB的面积是多少？问题2yOx图（1）AB43211234(4,0)(0,3)yABC

练习.１．已知A(1,4),B(-4,0),C(2,0).△ABC的面积是＿＿＿．２.若BC的坐标不变,△ABC的面积为6,点A的横坐标为-1,那么点A的坐标为__

_.12O(1,4)(-4,0)(2,0)CyAB(-4,0)(2,0)(-1,2)或(-1,-2)

坐标距离三角形面积线段长度点一、有一边在坐标轴上

例1如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？

分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.

解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y)

(1)若点C在第二象限，且|x|=4,|y|=4,

求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；

分析(1)由点C在第二象限，可知x和y的符号，这样可化简绝对值，从而求点C的坐标，求三角形的面积，关键求点C到AB所在的直线即x轴的距离|y|31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1ABC已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y)

（2）若点C在第四象限上，且三角形ABC的面积=9，|x|=3,求点C的坐标31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1ABC分析：由三角形的面积可求出C到AB所在的直线距离为3,而点C在第四象限可知它的坐标符号，从而可知y=-3（若不限定C的象限，求C点的坐标又如何？）

Oy43211234A(2,1)x图（3）Oxy图（4）A(2,1)43211234二、有一边与坐标轴平行例2如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.

解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4.作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.OXYA(2,1)43211234图（5）三、三边均不与坐标轴平行例3如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？

解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－

×4×4－×

6×1＝14.＝分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.Oy43211234A(2,1)x图（6）Oy43211234A(2,1)x图（7）C(2,2)MN方法1Oy43211234A(2,1)x图（8）D(1,1)EF方法2Oy43211234A(2,1)xE(4,1)F(4,0)图（9）方法3Oy43211234A(2,1)xE(4,1)F(4,0)图（10）G(0,4)方法4Oy43211234A(2,1)xF(4,0)图（11）方法5在平面直角坐标系内，已知A（―5，4），B（―2，―2），C（0，2）．求三角形ABC的面积．＝－－＝――

＝12．已知点A（0，1），点B（0，－4）,点C在轴上，如果三角形ABC的面积为15．（1）求点C的坐标．（2）若点C不在轴上，那么点C的坐标需满足什么样的条件（画图并说明）？（1）如图，AB＝︱1-（-4）︱＝5，设点C的坐标为C（x，0），则＝＝＝15，即＝6，±6．所以点C的坐标为（6，0）或（－6，0）．AB×OC（2）点C需满足的条件是横坐标恒为6或－6，纵坐标任意．如图，点C位于两条平行于y轴且与y轴距离为6的条直线上．做一做1.已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3),求△ABC的面积.y-36x31425-2-1O12345-2-1678A(-1,-2)B(6,2)C(1,3)-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)F(-1,3)方法1-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)方法2-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)E(6,3)F(-1,3)方法3-1-2xy1234567854321-2-1OB(6,2)C(1,3)方法4A(-1,-2)A`B`C`.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1），B（1，-3），C（4，-3.5）。123456-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（1）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标;ACB123456-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（2）求出三角形A1B1C