高中数学高考一轮复习一轮复习 第四节 随机事件的概率

课时作业(五十八)随机事件的概率1．(多选)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥的两个事件是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”BD[A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．]2．根据以往30年的统计数据，中秋节晚上甲地阴天的频率为，乙地阴天的频率为，甲乙两地都阴天的频率为，则用频率估计概率，今年中秋节晚上甲乙两地都能赏月(即都不阴天)的概率为()A． B．C． D．D[设事件A＝“甲地阴天”，事件B＝“乙地阴天”，所以P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，则甲乙两地至少有一地阴天的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝，所以两地都能赏月的概率为1－P(A∪B)＝.]3．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若eq\x\to(B)表示B的对立事件，则一次试验中，事件A∪eq\x\to(B)发生的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C[掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵eq\x\to(B)表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]4．已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(A∪B)＝eq\f(3,4)，某人猜想事件A∩B发生，则此人猜测正确的概率为()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．0C[因为事件A∩B与事件A∪B是对立事件，所以事件A∩B发生的概率为P(A∩B)＝1－P(A∪B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，则此人猜测正确的概率为eq\f(1,4).]5．(多选)(2023·辽宁葫芦岛期末)中国篮球职业联赛(CBA)中，某男篮运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中，正确的是()A．P(A)＝ B．P(B)＝C．P(C)＝ D．P(B＋C)＝ABC[由题意可得P(A)＝eq\f(55,100)＝，P(B)＝eq\f(18,100)＝.∵事件A＋B与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，∴P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝，P(B＋C)＝1－P(A)＝1－＝.故选ABC.]6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是.若红球有21个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－－＝.设黑球有n个，则eq\f,21)＝eq\f,n)，故n＝15.答案：157．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．解析：因为事件A，B都不发生的概率为eq\f(2,5)，所以P(A∪B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，又因为事件A，B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(3,5)，因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＝eq\f(2,5)，所以P(A)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)8．(2023·安徽省江淮十校联考)一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿玻璃球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事件A“至少取得一个红玻璃球”与事件B“取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)；eq\f(14,15)9．某超市有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率．解析：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)因为事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).10．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元．估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解析：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝，P(B)＝eq\f(120,1000)＝.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝，由频率估计概率得P(C)＝.11．下列结论正确的是()A．若A，B事件互斥，则P(A)＋P(B)<1B．若A，B事件对立，则P(AB)＝0C．对任意事件A，B，P(AB)<P(A)或P(AB)<P(B)D．对任意事件A，B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)B[互斥事件包含对立事件，所以P(A)＋P(B)≤1，所以A不正确；因为A，B对立，所以A，B不可能同时发生，故P(AB)＝0，B正确；若A＝B，则P(AB)＝P(A)＝P(B)，所以C不正确；若A，B可能同时发生，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以D不正确．]12．(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，则下列说法正确的是()A．甲获胜的概率为eq\f(1,6)B．甲不输的概率为eq\f(1,2)C．乙输的概率为eq\f(2,3)D．乙不输的概率为eq\f(5,6)AD[∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，∴甲获胜的概率为1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，故A正确；甲不输的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B不正确；乙输的概率为1－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，故C不正确；乙不输的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故D正确．故选AD.]13．某儿童乐园在六一儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解析：活动记录与xy的结果如表：yxyx123411234224683369124481216显然，基本事件总数为16.(1)xy≤3情况有5种，所以小亮获得玩具的概率＝eq\f(5,16).(2)xy≥8情况有6种，所以获得水杯的概率＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，所以小亮获得饮料的概率＝1－eq\f(5,16)－eq\f(3,8)＝eq\f(5,16)<eq\f(3,8)，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．14．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得统计表：维修次数89101112频数1020303010记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的维修服务次数．(1)若n＝10，求y与x的函数解析式；(2)若要求“维修次数不大于n”的频率不小于，求n的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？解析：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200×10＋50x，x≤10，,250×10＋500（x－10），x>10.))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x＋2000，x≤10，,500x－2500，x>10，))x∈N.(2)因为“维修次数不大于10”的频率＝eq\f(10＋20＋30,100)＝<，“维修次数不大于11”的频率＝eq\f(10＋20＋30＋30,100)＝≥，所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于，则n的最小值为11.(3)若每台都购买10次维修服务，则有下表：维修次数x8910