概率论复习一

第一节总体、样本和统计量一、总体和样本二、统计量三、小结1.总体与样本的初步描述总体:研究对象的全体个体:每一个具体的研究对象

样本:一部分个体样本容量:样本中个体的数目一、总体与样本（1）代表性：

Xi，i=1,…,n与总体同分布.（2）独立性：X1,…,Xn相互独立；

则称X1,…,Xn为容量为n的简单随机样本.1.定义：设X1，…，Xn是取自于总体X的样本，称样本X1，…，Xn

的函数T(X1，…，Xn

)且不含未知参数,则称T(X1，…，Xn

)是总体X的一个统计量.将样本观察值x1,…,xn代入统计量T中,称得到的实数T(x1,…,xn)为统计量的观察值.

二、统计量2.

几个常用统计量的定义(1)样本均值(2)样本方差样本标准差修正样本方差修正样本标准差(3)

样本k阶矩

k阶中心矩

k阶(原点)矩第三节抽样分布一、常见分布二、正态总体抽样分布定理三、小结1.性质1注3

性质2t分布又称学生氏(Student)分布.2.t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20则称F服从第一自由度为n,第二自由度为m的F分布.

X,Y相互独立，设令3.F分布则称λ为X分布的上侧分位数.使P{X>λ}=，定义对总体X和给定的(0<<1)，若存在λ，如图.oyxP{X>λ}=若存在数1、2，使P{X>1}=P{X<2}则称1、2为X分布的双侧分位数或双侧临界值.oyx214.分位数定理一样本均值的分布二.正态总体抽样分布定理特别地:定理二样本方差的分布注:本定理是统计学的核心定理.定理三样本均值与样本方差适当比值的分布的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例1设

,为使样本均值大于70解

设样本容量为n,则故令得即所以取第七章参数估计

点估计

估计量的评价标准

正态总体参数的区间估计求参数点估计量的方法有矩估计法(ME)与极大似然估计法(MLE)。二.参数的点估计量的方法计算矩估计量步骤：1.求总体的各阶原点矩；2.解出要求参数；3.替换，用样本原点矩替换总体原点矩解例2

设总体X的概率密度为其中为未知参数，且>0，试求的矩估计.求极（最）大似然估计量的步骤:2、极大似然估计法对数似然方程例8设X1,…,Xn为取自参数为的指数分布的总体的样本，a>0为一给定实数，求

的极大似然估计.解:令第三节估计量的评价标准一、问题的提出二、无偏性三、有效性四、一致性五、小结为的无偏估计(UE).若称为的渐近无偏估计（AUE）。定义,统计量满足称二、无偏性三、有效性第四节区间估计一、区间估计的基本概念二、正态总体参数的区间估计三、小结一、区间估计的基本概念1.双侧置信区间的定义3.

求双侧置信区间的一般步骤(共3步)1、一个正态总体参数的区间估计二、正态总体的区间估计（1）已知，求的置信区间置信度为1-α的置信区间为：今抽9件测量其长度,得数据如下(单位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解例2的1-置信区间为（2）未知，求的置信区间例3

包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量（单位：千克）为9.9

10.1

10.3

10.4

10.5

10.29.7

9.8

10.1

10.09.810.3假定重量服从正态分布，试求该机器所包糖的平均重量的置信度为95%的置信区间。解利用公式，得到的置信度为95%的置信区间为设给定置信度1-，由观测值x1,x2,…,xn，求2或的置信区间。（3）未知，求的置信区间2的置信度为1的置信区间为的置信度为1的置信区间为解例4

随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的修正设炮口速度服从正态分布的样本方差为。求方差的置信度为90%的置信区间。第八章假设检验§8.1假设检验的基本概念§8.2总体均值的假设检验§8.3总体方差的假设检验§8.4分布函数的拟合检验第一节假设检验的基本概念二、假设检验的基本思想三、假设检验的相关概念一、问题的提出四、小结定义：对总体的分布函数或分布函数的某些参数作出某种假设称为统计假设记为H0，也可称之为原假设（零假设，待检假设）.把问题的反面，称为备择假设或对立假设，用H1表示.定义：一个问题仅提出一个假设，并不同时研究其它假设，称为简单假设检验问题。一、问题的提出

3.确定检验统计量以及拒绝域形式;假设检验的基本步骤：6.

两类错误及记号假设检验的依据是:小概率事件在一次试验中很难发生,但很难发生不等于不发生,因而假设检验所作出的结论有可能是错误的.这种错误有两类:(1)当原假设H0为真,观察值却落入拒绝域,而作出了拒绝H0的判断,称做第一类错误,又叫弃真错误,这类错误是“以真为假”.犯第一类错误的概率是显著性水平三、假设检验的相关概念(2)当原假设H0不真,而观察值却落入接受域,而作出了接受H0的判断,称做第二类错误,又叫取伪错误,这类错误是“以假为真”.

犯第二类错误的概率记为三、假设检验的相关概念第二节正态总体均值的假设检验一、单个正态分布均值的假设检验二、两个正态总体均值的假设检验三、小结设总体，X1，X2,…，Xn为来自总体X的一个样本。检验假设：检验统计量：拒绝域：一、单个正态总体均值的检验检验法例1已知某零件的长度（单位：mm）服从，其标准长度即应为32.05.现从中抽查6件，测得它们的长度为32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,试问这批零件的长度是否符合产品的要求？解假设：检验统计量：拒绝域：一、单个正态总体均值的检验例1已知某零件的长度（单位：mm）服从，其标准长度即应为32.05.现从中抽查6件，测得它们的长度为32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,试问这批零件的长度是否符合产品的要求？解计算统计量的观测值：作出判断：所以拒绝H0，即认为这批零件不符合要求。一、单个正态总体均值的检验例1已知某零件的长度（单位：mm）服从，其标准长度即应为32.05.现从中抽查6件，测得它们的长度为32.56，29.66，31.64，30.00，31.87，31.03,试问这批零件的长度是否符合产品的要求？一、单个正态总体均值的检验以上检验法中，拒绝域表示为小于一个给定数或大于另一个给定数的所有数的集合，称为双侧检验.设总体，X1，X2,…，Xn为来自总体X的一个样本。检验假设：检验统计量：拒绝域：一、单个正态总体均值的检验检验法设总体，X1，X2,…，Xn为来自总体X的一个样本。检验假设：检验统计量：拒绝域：一、单个正态总体均值的检验检验法例2已知铁水中碳的百分含量为现测定5炉，其含碳的百分含量分别为4.28,4.40,4.42，4.35,4.37，如果方差不变，问均值是否明显下降？解单边假设检验假设：检验统计量：拒绝域：例2已知铁水中碳的百分含量为现测定5炉，其含碳的百分含量分别为4.28,4.40,4.42，4.35,4.37，如果方差不变，问均值是否明显下降？解计算检验统计量的观测值：作出判断：所以拒绝H0，即认为这批铁水的含量有了明显下降。设总体，X1，X2,…，Xn为来自总体X的一个样本。检验假设：检验统计量：拒绝域：一、单个正态总体均值的检验检验法例3用自动装袋机装葡萄糖，每袋标准重500克，每隔一定时间需检查机器工作是否正常.现抽得10袋，测得其重量为（单位：克）495，510，505，498，503，492，502,512,497,506,假定重量服从正态分布，问机器是否正常？解由于2未知，所以用T

检验法假设：检验统计量：拒绝域：作出判断：接受H0，可以认为机器工作正常.统计量观测值：例5

某厂生产乐器用的合金弦线的抗拉强度服从均值为10560（kg/cm2）的正态分布。今改进工艺生产一批合金弦，从中抽出10根，测得其抗拉强度为（kg/cm2）：10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670问改进工艺后生产的合金弦是否较过去的合金弦抗拉强度要高？（α=0.05）解设抗拉强度为X，则未知.假设：检验统计量：拒绝域：由样本观测值有：则统计量的观测值为：作出判断：拒绝H0,即认为改进工艺后合金弦的抗拉强度有明显提高。第三节正态总体方差的假设检验一、单个总体的情况二、两个总体的情况三、小结一、单个总体的情况(1)要求检验假设:拒绝域为:(2)单边检验问题的拒绝域检验假设:检验问题的拒绝域为同理检验假设:拒绝域为例1

某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布,现随机抽取10根,检查其折断力,测得数据如下(单位:千克):575,576,570,569,572,582,577,580,572,585.设铜丝的折断力服从正态分布问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方差为64?解查表得认为该厂生产铜丝的折断力的方差为64.解例2

某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以来服从方差