高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）幂函数

第二章A级基础巩固一、选择题1．设a＝，b＝，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是eq\x(导学号69174858)(C)A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a[解析]∵∈(0,1)，∴y＝是减函数，∴，又y＝在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>，∴c>a>b，故选2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是eq\x(导学号69174859)(B)A．y＝xeq\s\up7(\f(1,3)) B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝xeq\s\up7(\f(1,2))[解析]函数y＝xeq\s\up7(\f(1,3))，y＝x3，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))在各自定义域上均是增函数，y＝x2在(－∞，0)上是减函数．3．使(3－2x－x2)－eq\s\up10(\f(3,4))有意义，x的取值范围是eq\x(导学号69174860)(C)A．R B．x≠1且x≠3C．－3<x<1 D．x<－3或x>1[解析](3－2x－x2)－eq\s\up10(\f(3,4))＝eq\f(1,\r(4,3－2x－x23)).∴要使上式有意义，需3－2x－x2>0.解之得－3<x<1.4．(2023·广东实验高一模考)下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是eq\x(导学号69174861)(D)A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝xeq\f(1,2) D．y＝x－2[解析]y＝x3为R上的奇函数，排除A．y＝x2在(0,1)上单调递增，排除B．y＝xeq\s\up7(\f(1,2))在(0,1)上单调递增，排除C，故选D．5．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，eq\f(1,2)，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个eq\x(导学号69174862)(C)[解析]直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝xeq\s\up7(\f(1,2))，2≠eq\f(1,2).故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2.故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．6．(2023·全国卷Ⅲ文，7)已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝3eq\s\up7(\f(2,3))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))则eq\x(导学号69174863)(A)A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b[解析]a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝4eq\s\up7(\f(2,3))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))＝5eq\s\up7(\f(2,3))，又函数y＝xeq\s\up7(\f(2,3))在[0，＋∞)上是增函数，所以b<a<c.故选A．二、填空题7．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是__f(x)＝x－\x(导学号69174864)[解析]∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1≤0，解得－1≤m≤1；∵图象关于原点对称，且m∈Z，∴m＝0，∴f(x)＝x－1.8．下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是__③\x(导学号69174865)①y＝xeq\s\up7(\f(1,2))；②y＝x4；③y＝x－eq\s\up7(\f(2,3))；④y＝－xeq\s\up7(\f(1,3)).[解析]①中函数y＝xeq\s\up7(\f(1,2))不具有奇偶性；②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y＝x－eq\s\up7(\f(2,3))是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y＝－xeq\s\up7(\f(1,3))是奇函数．故填③.三、解答题9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：eq\x(导学号69174866)(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．[解析](1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－eq\f(4,5).此时m2－m－1≠0，故m＝－eq\f(4,5).(3)若f(x)是反比例函数，则－5m则m＝－eq\f(2,5)，此时m2－m－1≠0，故m＝－eq\f(2,5).(4)若f(x)是二次函数，则－5m即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.10．已知函数f(x)＝xm－eq\f(2,x)且f(4)＝eq\f(7,2).eq\x(导学号69174867)(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．[解析](1)因为f(4)＝eq\f(7,2)，所以4m－eq\f(2,4)＝eq\f(7,2)，所以m＝1.(2)由(1)知f(x)＝x－eq\f(2,x)，因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝－x－eq\f(2,－x)＝－(x－eq\f(2,x))＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(3)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，设x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1－eq\f(2,x1)－(x2－eq\f(2,x2))＝(x1－x2)(1＋eq\f(2,x1x2))，因为x1＞x2＞0，所以x1－x2＞0,1＋eq\f(2,x1x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．B级素养提升一、选择题1．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝eq\x(导学号69174868)(A)A．0 B．1 C．2 D．[解析]由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3＜0检验，得m＝0，故选2．a＝eq\s\up7(\f(1,2))，b＝－eq\s\up7(\f(1,2))，c＝eq\s\up7(\f(1,2))的大小关系是eq\x(导学号69174869)(D)A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a[解析]∵y＝xeq\s\up7(\f(1,2))是增函数，∴eq\s\up7(\f(1,2))>(eq\f(1,)eq\s\up7(\f(1,2))>eq\s\up7(\f(1,2))，即a>b>c.3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是eq\x(导学号69174870)(A)A．n＜m＜0 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0 D．m＞n＞[解析]由图象可知，两个函数在第一象限内单调递减，所以m＜0，n＜0.4．当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图象在直线y＝x的下方，则α的取值范围是eq\x(导学号69174871)(C)A．(0,1) B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]幂函数y＝xeq\f(1,2)，y＝x－1在(1，＋∞)上时图象在直线y＝x的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C．二、填空题5．已知幂函数f(x)＝x－eq\s\up10(\f(1,4))，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是__(3,5)\x(导学号69174872)[解析]∵f(x)＝x－eq\s\up10(\f(1,4))＝eq\f(1,\r(4,x))(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－1，,a＜5，,a＞3.))∴3＜a＜5.6．若a＝(eq\f(1,2))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝(eq\f(1,5))eq\s\up7(\f(2,3))，c＝(eq\f(1,2))eq\s\up7(\f(1,3))，则a、b、c的大小关系是__b＜a＜\x(导学号69174873)[解析]设f1(x)＝xeq\s\up7(\f(2,3))，则f1(x)在(0，＋∞)上为增函数，∵eq\f(1,2)＞eq\f(1,5)，∴a＞b.又f2(x)＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上为减函数，∴a<c.C级能力拔高1．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f(x)的解析式.eq\x(导学号69174874)[解析]∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4∴f(x)＝x4.2．幂函数f(x)的图象经过点(eq\r(2)，2)，点(－2，eq\f(1,4))在幂函数g(x)的图象上.eq\x(导