高中数学北师大版3第一章计数原理 优秀作品

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．(2023·南宁高二检测)圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A．720 B．360C．240 D．120【解析】确定三角形的个数为Ceq\o\al(3,10)＝120.【答案】D2．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告．要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．120种 B．48种C．36种 D．18种【解析】最后必须播放奥运广告有Ceq\o\al(1,2)种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有Ceq\o\al(1,3)种，故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝36种不同的播放方式．【答案】C3．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A．70个 B．64个C．58个 D．52个【解析】∵四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，∴共有四面体Ceq\o\al(4,8)－12＝58个．故选C.【答案】C4．(2023·柳州高二检测)将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为()A．120 B．240C．360 D．720【解析】先选出3个球有Ceq\o\al(3,10)＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．【答案】B5．(2023·桂林高二检测)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．28 B．49C．56 D．85【解析】依题意，满足条件的不同选法的种数为Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49种．【答案】B二、填空题6．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________.【导学号：62690016】【解析】按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)＝2100种抽法．【答案】21007．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．【解析】Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝15种．【答案】158．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法．【解析】若只有1名队长入选，则选法种数为Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)；若两名队长均入选，则选法种数为Ceq\o\al(4,10)，故不同选法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(4,10)＝714(种)．【答案】714三、解答题9．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？【解】不考虑任何限制，10个点可得Ceq\o\al(4,10)个四面体．由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有Ceq\o\al(4,5)种情形．所以构成四面体的个数为Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝210－5＝205.10．假设在10件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有两件是次品．【解】(1)没有次品的抽法就是从7件正品中抽取5件的抽法，共有Ceq\o\al(5,7)＝21(种)．(2)恰有2件次品的抽法就是从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件的抽法，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)＝105(种)．(3)至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)种；第二类，从7件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,3)种．按分类加法计数原理，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,3)＝126(种)．能力提升]1．某单位拟安排6位员工在2023年劳动节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有()【导学号：62690017】A．30种 B．36种C．42种 D．48种【解析】所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)－2×Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝42(种)排法．【答案】C2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484【解析】显然该问题是一个组合问题，什么条件也不考虑共有Ceq\o\al(3,16)种取法，同一种颜色共有4Ceq\o\al(3,4)种取法，两张红色卡片共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)种取法，不同的取法有：Ceq\o\al(3,16)－4Ceq\o\al(3,4)－Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)＝eq\f(16×15×14,6)－16－72＝472.【答案】C3．如图1­3­1，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．图1­3­1【解析】四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有Ceq\o\al(3,6)－4＝16种不同的建桥方案．【答案】164．已知一组曲线y＝eq\f(1,3)ax3＋bx＋1，其中a为2,4,6,8中的任意一个，b为1,3,5,7中的任意一个．现从这些曲线中任取两条．求它们在x＝1处的切线相互平行的组数．【解】y′＝ax2＋b，曲线在x＝1处切线的斜率k＝a＋b.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x＝1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成．第一类：a＋b＝5，则a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可构成2条曲线，有Ceq\o\al(2,2)组．第二类：a＋b＝7，则a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可构成三条曲线，有Ceq\o\al(2,3)组．第三类：a＋b＝9，则a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可构成四条曲线，有Ceq\o\al(2,4)组．第四类：a＋b＝11，则a＝4，b＝7；a＝6，b