高中数学苏教版第二章平面解析几何初步单元测试 模块综合检测卷

模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x－eq\r(3)＝0的倾斜角是(C)A．45°B．60°C．90°D．不存在2．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2eq\r(6)，则实数x的值是(D)A．－3或4B．－6或2C．3或－4D．63．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置关系是(D)A．相交B．相离C．外切D．内切4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(C)5．(2023·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)A．12B．18C．24D．30解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V棱柱ABCA1B1C1＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×4×3×5＝30，V棱锥PA1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·PB1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×3×3＝6.故几何体ABCPA1C1的体积为30－6＝24.故选C.6．(2023·重庆卷)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(A)A．5eq\r(2)－4\r(17)－1C．6－2eq\r(2)\r(17)解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P(x，0)，C1(2，3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝eq\r(（2－3）2＋（－3－4）2)＝5eq\r(2).而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.7．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有(B)A．4对B．3对C．2对D．1对8．(2023·辽宁卷)已知点O(0，0)、A(0，b)、B(a，a3)，若△AOB为直角三角形，则必有(C)A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝eq\f(π,2)，则b＝a3≠0.若∠B＝eq\f(π,2)，根据斜率关系可知a2·eq\f(a3－b,a)＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－eq\f(1,a)＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．9．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3∶2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为(A)A．1∶1B．1∶eq\r(2)\r(2)∶eq\r(3)D．3∶210．(2023·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(D)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：在长方体模型中进行推理论证，利用排除法求解．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)11．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β(不包括△ABC所在平面)的位置关系是________．答案：平行12．(2023·重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2－(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1)).因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))))eq\s\up12(2)＋12＝22.解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)13．两条平行线2x＋3y－5＝0和x＋eq\f(3,2)y＝1间的距离是________．答案：eq\f(3\r(13),13)14．(2023·大纲全国卷)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝eq\f(3,2)，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．解析：根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积．如图所示，公共弦为AB，设球的半径为R，则AB＝R.取AB中点M，连接OM、KM，由圆的性质知OM⊥AB，KM⊥AB，所以∠KMO为圆O与圆K所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO＝60°.在Rt△KMO中，OK＝eq\f(3,2)，所以OM＝eq\f(OK,sin60°)＝eq\r(3).在Rt△OAM中，因为OA2＝OM2＋AM2，所以R2＝3＋eq\f(1,4)R2，解得R2＝4.所以球O的表面积为4πR2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)已知两点A(－1，2)，B(m，3)．(1)求直线AB的斜率；(2)已知实数m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的范围．解析：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在；当m≠－1时，k＝eq\f(1,m＋1).(2)当m＝－1时，α＝eq\f(π,2)；当m≠－1时，k＝eq\f(1,m＋1)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，则α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).综上，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).16．(本小题满分12分)(2023·上海卷)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为eq\f(π,6)，求该三棱柱的体积．解析：因为CC1∥AA1，所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝eq\f(π,6).在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan∠BC1C＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)，从而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)BC2＝3eq\r(3)，因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝3eq\r(3)·6＝18eq\r(3).17．(本小题满分14分)(2023·湖北卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.分析：借助三角形中位线的性质、线面平行的判定及线面垂直的判定和性质证明．证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.18．(本小题满分14分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S，则S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.体积为V，则V＝8×4×6＋eq\f(1,2)×22×8π＝192＋16π.所以几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.19．(本小题满分14分)如图，△ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求BD与平面EBC所成角的大小；(3)求几何体EFBC的体积．(1)证明：如图，连EA交BD于点F，∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点．∴FG∥AC.又FG⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴FG∥平面ABC.(2)解析：∵平面ABED⊥平面ABC，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，∴BC⊥AC.又∵BE∩BC＝B，∴AC⊥平面EBC.由(1)知，FG∥AC，∴FG⊥平面EBC.∴∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角．又BF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2)a,2)，FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2)a,4)，sin∠FBG＝eq\f(FG,BF)＝eq\f(1,2)，∴∠FBG＝30°.(3)VEFBC＝VFEBC＝eq\f(1,3)S△EBC·FG＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(2)a,2)·eq\f(1,2)·eq\f(\r(2)a,2)＝eq\f(a3,24).20．(本小题满分14分)(2023·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解析：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，设圆心C(a，2(a－2))，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以e