新课标高考数学理一轮复习课件：73 平面向量的数量积

当θ＝90°时，a与b垂直，记作_____；当θ＝0°时，a与b_____；当θ＝180°时，a与b_____．2．已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则把数量|a|·|b|·cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝_________.3．规定：0·a＝__.0°≤θ≤180°a⊥b同向反向|a||b|cosθ04．(1)设θ是a与b的夹角，则|a|cosθ叫做a在b的方向上的投影，|b|cosθ叫做b在a的方向上的投影．b在a的方向上的投影是一个实数，而不是向量．当0°≤θ<90°时，它是_____；当90°<θ≤180°时，它是_____；当θ＝90°时，它是__.(2)a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的_____．5．设a和b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角．(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔

a·b＝__.正值负值乘积00(3)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝_______特别地，a·a＝___.(5)a·b__|a|·|b|.6．(1)a·b＝____.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝______(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝________.7．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_________.|a||b|－|a||b||a|2b·aa·(λb)a·c＋b·cx1x2＋y1y2≤10．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b

⇔_____________.x2＋y2x1x2＋y1y2＝0A．30°

B．60°C．120° D．150°答案：D2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 (

)答案：C答案：B4.如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是 (

)答案：A1．因为向量的数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来．以下三点要特别注意：(1)当a≠0时，a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b都满足a·b＝0，所以在代数中我们常用的“若ab＝0，则a＝0或b＝0”在向量的数量积中不适用．(2)由a·b＝b·c不能推出a＝c，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式，而a＝c是一个向量等式，所以两者不等价．另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约的实质是相除，这是不允许的．(3)结合律对数量积不成立，即(a·b)c≠a(b·c)．这是因为(a·b)c表示一个与向量c共线的向量，而a(b·c)表示一个与向量a共线的向量，但是向量a和向量c不一定共线(即使共线，其积也不一定相等)，所以(a·b)c≠a(b·c)．2．利用a⊥b⇔a·b＝0(向量式)和a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(坐标式)来证明两条直线垂直，使判断直线垂直又多了一种简便的方法．要注意将x1x2＋y1y2＝0和判断平行的x1y2－x2y1＝0区别开，不要混淆．记忆的方法是参照两条直线平行与垂直的条件．已知直线l1的方程为A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2的方程为A2x＋B2y＋C2＝0.若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，若l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.考点一平面向量的数量积及运算律【案例1】设a、b、c是任意的非零向量，且互不共线．已知下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有 (

)A．①②B．②③C．③④D．②④关键提示：考查平面向量的数量积及运算律．解析：对于①，只有b和c方向相同时，两者才可能相等，所以①错．考虑②式对应的几何意义，由“三角形两边之差小于第三边”知②正确．因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0，所以垂直，即③错．对于④，向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以④对．答案：D【即时巩固1】下面给出的关系式中正确的个数是 (

)①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.A．0 B．1C．2 D．3解析：由数量积的结果为一个数，数乘的结果为一向量，知①错，数量积有交换律，无结合律，知②对，④错：由a·b＝|a|·|b|cosθ，由|cosθ|≤1，知⑤对；取a＝b，易知③对；故选D.答案：D【案例2】在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 (

)关键提示：结合图形与a·b的几何意义．答案：CA．等边三角形 B．直角三角形C．等腰非等边三角形 D．无法确定答案：A考点二向量数量积的距离及夹角问题【案例3】已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．【即时巩固3】设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，|a＋b|＝|c|，则〈a，b〉＝ (

)A．150°

B．120°

C．60°

D．30°解析：由|a＋b|＝|c|，两边平方得：a2＋2a·b＋b2＝c2，因为|a|＝|b|＝|c|，所以|a|2＋2|a||a|cos〈a，b〉＋|a|2＝|a|2，所以〈a，b〉＝120°.答案：B【案例4】已知向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，则|a－b|的最大值为________．关键提示：将|a－b|表示成三角函数的形式，再利用三角函数的范围求最大值．【即时巩固4】已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是____________．答案：[－6,2]考点三向量数量积与其他知识(三角、解几)的综合应用关键提示：利用向量平行和向量的数量积转化为三角函数形式，再求值．解：(1)因为a∥b，