高中数学人教A版第一章算法初步单元测试

章末分层突破[自我校对]①顺序结构②条件结构③循环结构④条件语句⑤循环语句⑥秦九韶算法⑦进位制算法的设计1.算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．2．对于给定的问题，设计其算法时应注意以下四点：(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼与概括步骤；(2)将解决问题的过程划分为若干步骤；(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表述；(4)用简练的语言将各个步骤表达出来；(5)算法的执行要在有限步内完成．设计一个算法，求方程x2－4x＋2＝0在(3,4)之间的近似根，要求精确度为10－4，算法步骤用自然语言描述．【精彩点拨】可以利用二分法的步骤设计算法．【规范解答】算法步骤如下：第一步，令f(x)＝x2－4x＋2，由于f(3)＝－1<0，f(4)＝2>0，所以设x1＝3，x2＝4.第二步，令m＝eq\f(x1＋x2,2)，判断f(m)是否等于0，若f(m)＝0，则m为所求的根，结束算法；若f(m)≠0，则执行第三步．第三步，判断f(x1)f(m)>0是否成立，若成立，则令x1＝m；否则令x2＝m.第四步，判断|x1－x2|<10－4是否成立，若成立，则x1与x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若不成立，则返回第二步．[再练一题]1．已知平面坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．【解】第一步，计算x0＝eq\f(－1＋3,2)＝eq\f(2,2)＝1，y0＝eq\f(0＋2,2)＝1，得AB的中点N(1,1)．第二步，计算k1＝eq\f(2－0,3－－1)＝eq\f(1,2)，得AB的斜率．第三步，计算k＝－eq\f(1,k1)＝－2，得AB垂直平分线的斜率．第四步，由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.程序的编写算法设计和程序框图是设计程序的基础．编写程序的基本方法是“自上而下逐步求精”，步骤如下：(1)把一个复杂的大问题分解成若干相对独立的小问题．若小问题仍较复杂，则可以把小问题分解成若干个子问题．这样不断地分解，使小问题或子问题简单到能直接用程序的三种基本结构甚至是五种基本语句表达清楚为止．(2)对应每一个小问题或子问题编写出一个功能上相对独立的程序块来．(3)把每一个模块统一组装，完成程序．某高中男子体育小组的50m赛跑成绩(单位：s)如下：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.设计一个程序，从这20个成绩中搜索出小于s的成绩．并画出程序框图．【精彩点拨】明确问题的含义，判断好程序框图的结构，然后写出程序．【规范解答】程序如下：eq\x(\a\al(i＝1,WHILEi<＝20,IFGi<THEN,PRINTi，Gi,ELSE,ENDIF,i＝i＋1,WEND,END))程序框图如下图：[再练一题]2．请写出如图1­1所示的程序框图描述的算法的程序．图1­1【解】这是一个求分段函数：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>1，,2x＋1，－1≤x≤1，,x＋1，x<－1))的函数值的算法，输入、输出框分别对应输入、输出语句，判断对应条件语句．所以算法程序为：eq\x(\a\al(INPUTx,IFx>1THEN,y＝x－1,ELSE,IFx<－1THEN,y＝x＋1,ELSE,y＝2*x＋1,ENDIF,ENDIF,PRINTy,END))程序框图的读图应用从近几年高考各省市试题中可以看出，本部分命题呈现以下特点：(1)考题以选择题、填空题为主，属中低档题．(2)考查内容是程序框图，或者要求补充完整框图，或者要求求出按程序框图执行后的结果．程序框图中主要以条件结构和循环结构为主，其中循环结构是重点．如图1­2所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是()图1­2A．k≥6?B．k＝7?C．k≥8?D．k≥9?【精彩点拨】本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的地方是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S的输出结果为720.【规范解答】第一次运行结果为S＝10，k＝9；第二次运行结果为S＝10×9＝90，k＝8；第三次运行结果为S＝720，k＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k≥8？.故选C.【答案】C[再练一题]3．阅读如图1­3所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的s∈(10,20)，那么n的值为()图1­3A．3 B．4C．5 D．6【解析】逐项验证．若n＝3，输出s＝7∉(10,20)．若n＝4时，s＝15∈(10,20)．【答案】B分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，需对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论思想．在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如条件结构和循环结构)，这实际上运用了分类讨论的数学思想方法．某商场实行优惠措施，若购物金额x在800元以上(包括800元)，则打8折，若购物金额x在800元以下500元以上(包括500元)，则打9折；否则不打折．设计算法的程序框图，要求输入购物金额x，能输出实际交款额，并写出程序语句．【精彩点拨】先把实际问题转化为数学问题，再画出程序框图，写出程序．【规范解答】本题的实质是求函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1，x≥800，,，500≤x<800，,x，x<500))的值程序框图如下：程序如下：eq\x(\a\al(INPUT“x＝”；x,IFx≥800THEN,y＝,ELSE,IFx≥500THEN,y＝,ELSE,y＝x,ENDIF,ENDIF,PRINT“y＝”；y,END))[再练一题]4．编写一个程序，对于函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x<1,2x－1，1≤x<10，,3x－11，x≥10，))输入x的值，输出相应的函数值．【解】eq\x(\a\al(INPUT“x＝”；x,IFx<1THEN,y＝x,ELSE,IFx<10THEN,y＝2*x－1,ELSE,y＝3*x－11,ENDIF,ENDIF,PRINT“y＝”；y,END))1．执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足()图1­4A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x【解析】输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝eq\f(1,2)，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝eq\f(3,2)，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝eq\f(3,2)，y＝6.由于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))在直线y＝4x上，故选C.【答案】C2．执行如图1­5所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝()图1­5A．3B．4【解析】a＝4，b＝6，n＝0，s＝0，第一次循环：a＝b－a＝6－4＝2，b＝b－a＝6－2＝4，a＝b＋a＝4＋2＝6，s＝s＋a＝0＋6＝6，n＝n＋1＝1，不满足s>16；第二次循环：a＝b－a＝4－6＝－2，b＝b－a＝4－(－2)＝6，a＝b＋a＝6－2＝4，s＝s＋a＝6＋4＝10，n＝n＋1＝1＋1＝2，不满足s>16；第三次循环：a＝b－a＝6－4＝2，b＝b－a＝6－2＝4，a＝b＋a＝4＋2＝6，s＝s＋a＝10＋6＝16，n＝n＋1＝2＋1＝3，不满足s>16；第四次循环：a＝b－a＝4－6＝－2，b＝b－a＝4－(－2)＝6，a＝b＋a＝6－2＝4，s＝s＋a＝16＋4＝20，n＝n＋1＝3＋1＝4，满足s>16，输出n＝4.【答案】B3．执行下面的程序框图，如果输入的t＝，则输出的n＝()图1­6A．5B．6C．7D．8【解析】逐次运行程序，直至输出n.运行第一次：S＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝，m＝，n＝1，S>；运行第二次：S＝－＝，m＝，n＝2，S>；运行第三次：S＝－＝，m＝5，n＝3，S>；运行第四次：S＝－5＝5，m＝25，n＝4，S>；运行第五次：S＝25，m＝625，n＝5，S>；运行第六次：S＝625，m＝8125，n＝6，S>；运行第七次：S＝8125，m＝90625，n＝7，S<.输出n＝7.故选C.【答案】C4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝()图1­7A．0 B．2C．4 D．14【解析】逐次运行程序，直至程序结束得出a值．a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14＜18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14＞4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10＞4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6＞4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2＜4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.【答案】B章末综合测评(一)算法初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面对程序框图中的图形符号的说法错误的是()A．起、止框是任何流程不可少的，表明程序开始和结束B．输入、输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置C．算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的注释框内D．当算法要求对两个不同的结果进行判断时，判断条件要写在判断框内【解析】算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内．【答案】C2．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是()A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合【解析】任何一种算法都是由上述三种逻辑结构组成的，它可以含有三种结构中的一种、两种或三种．【答案】D3．下列赋值语句正确的是()A．s＝a＋1 B．a＋1＝sC．s－1＝a D．s－a＝1【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B、C、D都不正确．【答案】A4．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是()A．3 B．4C．6 D．7【解析】由辗转相除法264＝56×4＋40,56＝40×1＋16,40＝16×2＋8,16＝8×2，即得最大公约数为8，做了4次除法．【答案】B5．下列各进制数中，最小的是()A．1002(3) B．210(6)C．1000(4) D．111111(2)【解析】1002(3)＝29,210(6)＝78,1000(4)＝64，111111(2)＝63.【答案】A6．对于程序：eq\x(\a\al(INPUTm,IFm>－4THEN,m＝2*m＋1,ELSE,m＝1－m,ENDIF,PRINTm,END))试问，若输入m＝－4，则输出的数为()A．9 B．－7C．5或－7 D．5【解析】阅读程序，先输入m，判断m>－4是否成立，因为m＝－4，所以不成立，则执行m＝1－m，最后输出的结果为5.【答案】D7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时，v4的值为()A．－57 B．220C．－845 D．3392【解析】v0＝3，v1＝v0x＋5＝－7，v2＝v1x＋6＝28＋6＝34，v3＝v2x＋79＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝v3x－8＝－57·(－4)－8＝220.【答案】B8．如图1所示的程序框图中循环体执行的次数是()图1A．50 B．49C．100 D．99【解析】第1次中：i＝2＋2＝4，第2次中：i＝4＋2＝6，…第49次中：i＝2×49＋2＝100.共49次．【答案】B9．如图2所示是求样本x1，x2，…，x10平均数eq\x\to(x)的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()图2A．S＝S＋xn B．S＝S＋eq\f(xn,n)C．S＝S＋n D．S＝S＋eq\f(1,n)【解析】由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S＝x1＋x2＋…＋x10的累加求和，故选A.【答案】A10．下面程序的功能是()eq\x(\a\al(S＝1,i＝3,WHILES＜＝10000,S＝S*i,i＝i＋2,WEND,PRINTi,END))A．求1×2×3×4×…×1000的值B．求2×4×6×8×…×10000的值C．求3×5×7×9×…×10001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10000的最小正整数n【解析】S是累乘变量，i是计数变量，每循环一次，S乘以i一次且i增加2.当S＞10000时停止循环，输出的i值是使1×3×5×…×n＞10000成立的最小正整数n.【答案】D11．对于任意函数f(x)，x∈D，可按下图构造一个数字发生器，其工作原理如下：图3①输入数据x0∈D，经过数字发生器，输出x1＝f(x0)；②若x1∉D，则数字发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律继续下去．现定义f(x)＝2x＋1，D＝(0,1000)．若输入x0＝0，当发生器结束工作时，输出数据的总个数为()A．8 B．9C．10 D．11【解析】依题中规律，当输入x0＝0时，可依次输出1,3,7,15,31,63,127,255,511,1023，共10个数据，故选C.【答案】C12．如图4给出的是计算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,20)的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()图4A．i＞10? B．i＜10?C．i＞20? D．i＜20?【解析】eq\f(1,2)＋eq\f(1,2×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,2×10)共10个数相加，控制次数变量i应满足i＞10.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．123(8)＝________(16)．【解析】123(8)＝1×82＋2×8＋3×80＝83.即123(8)＝83(10)＝53(16)．【答案】5314．程序框图如图5所示，若输出的y＝0，那么输入的x为________．图5【解析】由框图知，当x＝－3,0时，输出的y值均为0.【答案】－3或015．下面程序运行后输出的结果为________．eq\x(\a\al(x＝－5,y＝－20,IFx<0THEN,y＝x－3,ELSE,y＝x＋3,ENDIF,PRINT“x－y＝”；“y－x＝”,END))【解析】∵输入x＝－5<0，∴y＝x－3＝－5－3＝－8，∴输出x－y＝－5－(－8)＝3，y－x＝－8－(－5)＝－3.【答案】3，－316．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图6所示，则log28⊗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝________.图6【解析】log28＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2，由题意知，log28⊗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝3⊗4＝eq\f(4－1,3)＝1.【答案】1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．【解】辗转相除法：470＝1×282＋188，282＝1×188＋94，188＝2×94.∴282与470的最大公约数为94.更相减损术：470与282分别除以2得235和141，∴235－141＝94，141－94＝47，94－47＝47，∴470与282的最大公约数为47×2＝94.18．(本小题满分12分)下列是某个问题的算法程序，将其改为程序语言，并画出程序框图．算法：第一步，令i＝1，S＝0.第二步，若i≤999成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法．第三步，S＝S＋eq\f(1,i).第四步，i＝i＋2，返回第二步．【解】程序框图如下：程序语言如下：eq\x(\a\al(S＝0,i＝1,WHILEi<＝999,S＝S＋1/i,i＝i＋2,WEND,PRINTS,END))19．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值.【解】f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＋0＝21324，∴f(3)＝