高量3 矢量空间的直积和直和

①定义：设A是一个方阵，则A的迹定义为其对角元之和，用trA表示§4.3若干矩阵运算②迹的主要性质：一、矩阵的迹和行列式1.矩阵的迹（trace）①定义：A的行列式是将矩阵A的各元看成是一个行列式的相应各元时这个行列式的值，用detA表示。2.行列式1N是矩阵的阶。式中的定义为若abc…n是123…N的偶置换若abc…n是123…N的奇置换其它情况12﹟根据这个定义可知，取N个属于不同行和列元素乘在一起并冠以适当的正负号，将所有可能的这种乘积加起来就是行列式的值。②行列式最重要的性质：将按照从小到大的次序置换排列，有3二、矩阵的相似变换1.定义：方阵A用幺正矩阵U所作的如下变换称为相似变换。有两矩阵A,B，若有U存在，使得则称A,B相似。算符的表象变换就是相似变换。2.相似变换的性质：若A,B二矩阵相似，则4由于算符的表象变换是相似变换，我们定义：一个算符A的迹和行列式为A在任何表象中的矩阵的迹和行列式。3.关于相似变换的一个定理定理：任何厄米矩阵都可以通过相似变换（实际上是幺正变换）成为对角矩阵。[证]设在n维空间中取定一个确定的表象后，厄米矩阵A便成为某一厄米算符A的表示矩阵，而算符A肯定有n个互相正交的归一化本征矢量即5现在用这些来构造一个幺正矩阵U。取，即这个幺正矩阵U就可以把厄米算符A对角化。6首先证明U是幺正矩阵。由于彼此正交，即所以有从而证明了同理可证明所以U是幺正的，即7证明变换后的矩阵是一对角矩阵，其对角元即是A的本征值。若本征值是m重简并的，则在对角元中出现m次。其次证明厄米矩阵A经过U的变换后确是对角矩阵实际上，在证明中所给的幺正矩阵U，正是由原来的表象变换到A表象的表象变换矩阵，而厄米算符在自身表象中的表示就是对角矩阵。﹟8§4.4连续本征值的情况一、完备性关系和矢量的表示而对于表象基矢为连续分布的情况，只能作一些形式上的推广。设在无穷维空间中取K表象，而厄米算符（或完备组）K具有在某一区间内的连续本征值谱，即在这种情况下，仍取全部本征矢量的完全性关系对于无穷维空间，若表象基矢是离散的，只要把上面讨论的公式中的取和上限推到无穷大就可以了。以上对有限维空间的情况作了分析。9式中仍称为矢量在基矢上的分量。这时它们是k的连续复函数，称为在k表象中的函数形式。函数形式与矢量本身是等价的。例如，此二矢量的内积可以用函数形式表示出：此时，对空间任意矢量和，有10二、算符的表示算符A作用于上得出在K表象中，我们希望找到与算符A对应的，把直接变为的办法。用左矢与上述两边作内积，并利用完备性关系，有即可见，算符A在K表象中是变量和的双变量函数，同离散的表象比较很类似。11三、连续表象下矢量和算符的记法连续表象下函数可理解为下标连续改变的列矩阵,而可看成下标连续改变的方阵,即12这样就把离散表象和连续表象的记法做到了完全的一一对应。今后为书写方便，约定和两种写法是完全无区别而任意使用。这样当讨论表象变换，且K和L中的一方或双方是连续表象时，讨论同样适用。﹟而所有的运算都是矩阵的乘法。对于连续表象，原来对i的取和改为对k的积分。13§5.1空间的直和一、定义现在由此构造直和空间设矢量空间R1中的矢量是,算符是矢量空间R2中的矢量是,算符是§5矢量空间的直和与直积空间的直和有时需要由两个已知的矢量空间和构造一个更大的矢量空间R。这里我们讨论两种构造方法：空间的直积141.

矢量的直和考虑一种“双矢量”作为数学对象，即取空间中的一个矢量与空间中一个矢量放在一起，记作分别称为矢量的直和或的直和。这一类矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。2.直和空间定义这个空间中的三种运算1）加法15在直和空间中加法单位元（0矢量）为2）数乘3）内积如果认定不同空间中矢量的内积为0，则上述定义说明内积可按分配律来展开。很容易证明上述定义满足矢量空间的12个条件。于是构造出来了一个新的矢量空间R，并称之为和的直和空间，表为163.

算符的直和用中的算符A,B,…和中的算符L,M,…去构造直和空间中的算符，称为A,L两算符的直和。其作用为如果认定一个空间的算符作用到另一个空间的矢量时得0矢量，则上式可按分配律来展开。算符的加法和乘法可以按照上述定义得出。证明第二式。17将其从左边作用于直和空间中任一矢量上﹟一个空间的算符作用到另一个空间的矢量时得0矢量18二、直和空间的维数设为维，为维。现在，在中取一组基矢，K表象在中取一组基矢，P表象那么直和空间中的任意矢量都可写成根据直和空间加法的定义，直和空间中任意两个双矢量形式的矢量的叠加仍可写成双矢量的形式。19注意：不能写为的形式，否则没法表示只有一个空间基矢的情况。若取直和空间的基矢为则任意矢量都可以写成上述个基矢的叠加，于是得出，直和空间的维数是两个空间维数之和，即20取为3维，基矢为若取为2维，基矢为这时直和空间为5维，其基矢为这里省去了零矢量的空间编号。在直和空间中，以上述基矢组为基矢的表象可以称为KP表象或表象。因为它们是算符的本征矢量。容易证明其正交归一性。﹟21如双态模型中波函数的表示：不同电子态的波函数所取格点基矢的维数不一样二、矢量和算符的矩阵表示

1.设在和空间中，和的矩阵为（分别为K和P表象）式中而在直和空间中，矢量的KP表象的矩阵形式为222.算符的矩阵形式也可以同样讨论。在中，算符A,L的矩阵形式分别为在直和空间中，算符的矩阵形式成为上式中，23有时在直和空间中说算符A，实际上是指若R1,R2是大空间的两子空间，则只有当R1,R2除外不含公共矢量时才可以谈二者的直和.这是因为大空间的加法适用于所有矢量。从R1,R2中各取一矢量构成的双矢量与二者之和是等价的，“”可以写成“+”。直和空间不只包含R1,R2中所有矢量，比如3D空间中，若R1是xy平面矢量，R2是沿z轴矢量，则包含3D空间中的全部矢量。由于算符在整个大空间都有定义，所以一切算符在R1,R2中是通用的。这时没有算符直和这一概念。﹟24§5.2空间的直积一、直积空间的概念1.直积：是由两个已知空间构造一个较大空间的另一种方法。的直积可以写成“”在很多情况下可以省略。252.直积空间：直积空间中的数学对象也是双矢量及其叠加。双矢量也是从中各取一个矢量不计次序放在一起。与直和空间的区别在于三种运算规则不同。直积空间中运算规则如下1）加法：是一个新矢量，一般不能表为双矢量的形式。这与直和空间的加法不同。加法的单位元是直和空间中任意两个双矢量形式的矢量的叠加仍可写成双矢量的形式。26另有直积分配律2）数乘：3）内积：上式坐标的“+”是中的加法，右边的“+”是直积空间的加法。这与就构成了新的矢量空间,称为的直积空间。27二、直积空间中的算符1.定义：设中的算符为A,B,…，2.运算规则：上式第二式中两个“()”没有写符号，是因为直积空间内部的算符乘法。中的算符为L,M,…，那么直积空间的算符为其定义为

28且有时在直积空间中也说算符A或L，这时并不是指或中的算符。此时上式左方的“+”仍是直积空间的“+”，因为A(中)和L(中)是没有加法的。﹟29三、直积空间中的表象—KP表象1.定义：在中取K表象，基矢是，在中取P表象，基矢为,则中的任意矢量和中的任意矢量可以写成这时30可见，若在直积空间中取全部形如的矢量为基矢，则可以叠加出所有的矢量。这些基矢是用两个下标i和m编号的：若空间是维的，空间是维的，则共有个。注意正是直积算符的本征矢量，所以为基矢的表象是表象或简称KP表象。31比如同时处理振动和平动的波函数取n1=2,n2=3,则KP表象中的矩阵形式为2.KP表象中矢量和算符直积的矩阵形式1）

矢量的直积32比如直积算符矩阵的第1.3行第2.1列的元是，写成矩阵是2）

算符的直积在KP表象中的矩阵形式是33或写成一种便于记忆的方式同样，矢量的直积也可写成在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积。以上对两个矢量空间的直积作了一些讨论，当然也可以用同样方法讨论两个以上空间的直积。﹟34§6量子力学的基本原理§6.1引言量子力学：是研究微观粒子系统运动规律的科学。两种解释狭义的量子力学：研究对象是低能的，无衰变(即长寿命)的粒子以及这样的粒子所构成的系统,理论是非相对论的。第二章量子力学的理论结构但是由于目前相关实验手段极为精细,测量十分准确,理论在不少情况下需要考虑相对论的微小影响。35广义的量子力学：能量可以很高，粒子可以产生、湮灭和互相转化。系统的粒子数可以不守恒。这时研究对象是无穷多自由度的场。这一领域常称为量子场论。本课程只讨论狭义的量子力学，并采用公理化的理论体系，将量子力学的出发点归纳为五个基本原理。在此基础上建立量子力学的理论体系。36§6.2基本原理一、原理1：描写微观系统的状态的数学量是Hilbert空间中的矢量。相差复数因子的两个矢量描写同一状态。我们用归一化的右矢或左矢描写系统的状态,称此态为状态，而矢量或称为态矢量。与此相应，这个Hilbert空间称为态空间。二、原理2：（1）描写微观系统的状态的物理量是Hilbert空间中的算符；37（2）物理量所能取的值是相应算符的本征值；（3）物理量A在状态中取各值的概率，与态矢量按A的归一化本征矢量的展开式中的系数的复平方成正比，即与下式中的复平方成正比：如果本征值有简并，即有几个相互正交的本征矢量与之对应，则物理量A取值的概率与这几个本征矢量的系数的复平方和成正比。38原理2表明，量子力学所掌握的关于微观系统的规律是一种统计规律。它只能告诉我们，在某一时刻，一个微观系统的各物理量取不同值的概率.至于为何不能取确定值，一般有两种解释：（1）本来有确定值，但还没有掌握方法；由原来1、2所给出的结论：（1）一个厄米算符A的本征矢量所描写的状态称为这一算符的本征态。在一个物理量A的本征态中，A取值的概率为1，取其它值的概率为0.（2）根本就没有确定值，按统计规律取值是微观系统的根本特点。39所以一个物理量在自己本征态中的取值是确定的，即相应的本征值。（2）既然在一个状态中，物理量A取各值有确定的概率，那么就可以求出A在这一态中的平均值，用或表示，有时也叫期望值：注意：如无特别说明，所有矢量都是归一化的，即40其中△:表示测量涨落三、原理3：而不同粒子间的所有算符均相互对易。微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符与相应的正则动量算符有下列对易关系物理量所对应的算符，两两之间有些是不可对易的，这一点是量子力学的特点。对易关系中普朗克常量的出现导致某些物理量，如轨道角动量及束缚态哈密顿的对角化，即只能取某些离散的数值。41中，当正则坐标取直角坐标x,y,z

时,与经典正则动量相对应的算符。在经典力学中，是最基本的量，其余物理量都是它们的函数。原理3中所说在直角坐标下的正则动量算符，是指在粒子的经典哈密顿正则方程42在量子力学中也是这样。位置和（正则）动量是最基本的算符。其余有经典对应的物理量，其算符也是表为和的函数，其函数关系与经典关系相同。而这些物理量之间的对易关系，都可以从间的基本对易关系式推出。四、原理4：微观系统的状态随时间的变化规律是薛定谔方程式中是系统的哈密顿算符。43系统的哈密顿算符是X、P的函数，有时还是t的函数，其函数形式与经典哈密顿相同，即取决于系统本身的情况和系统所处外部环境的情况。本身情况：系统中的粒子数、各粒子的质量、电荷以及粒子之间的相互作用；外部环境：粒子所在的外部电磁场等；若电磁场是随时间变化的，则哈密顿明显地包含时间。一般地说，如果我们所研究的系统只是一个更大的系统的一部分，在这个系统和更大系统的其余部分之间存在着能量交换，则所研究的这个系统的哈密顿将明显含时。44原理4规定了在给定外界环境的情况下，微观系统的运动规律.由于薛定谔方程是时间的一阶微分方程,只知道某一时刻系统的状态（初态），就可以得出以后（及以前）所有时刻系统的状态。这时薛定谔方程可以将时间因子分离出来。令，代入薛定谔方程有上式左右两边各有两种完全不同的量：矢量，时间的函数。此式成立需要满足下列关系：45式中E是分离变量常数。本来分离变量常数可以取任意值,但现在E又是H的本征值,应由H的形式来决定。若H具有离散的本征值，用表示相应的本征矢量，则上面第一式称为H的本征值方程这时可解出为于是薛定谔方程的一个特解为这是系统能够实现的一个状态，称为定态。它是能量取确定值的状态。46与此相应，方程此时方程称为定态薛定谔方程。式中，是叠加系数，与时间无关。给定某一时刻的状态，即可把定下来，从而定出系统的状态。例如，已知t=0时系统的初态为，则上式成为如何由上式确定？称为含时薛定谔方程，其解的一般形式可以写成所有定态解的叠加47方程两边与作内积，有所以从而有这就是描写系统状态随时间变化的态矢量。48在常见情况下哈密顿是不含时的，这时含时薛定谔方程的解形如由于系统的状态由态矢量描写，而态矢量要满足含时薛定谔方程，所以系统的状态都是含时的。所以讨论定态时往往看不到时间因子，其实定态也是含时态。其中的时间因子在讨论概率和平均值时都不起作用，常常略去不写。49五、原理5：描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调是对称的（对调前后完全相同）或反对称的（对调前后差一个负号），服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。全同粒子系统是由同一种粒子（质量、电荷等内禀属性相同）组成的系统。原理5反映了全同粒子的不可分辨性。原理5指出，对于全同粒子系统，在其薛定谔方程的全部数学解中，只有满足对称性或反对称性的解才能描写系统的状态，而其余的解是没有物理意义的。50§6.4算符的构成一、位置算符、动量算符和哈密顿算符1.位置算符用表示一个例子直角坐标下的位置算符。对单粒子来说，有3个自由度，这三者是相互对易的厄米算符完备组。以后约定，用单一字母X表示位置算符，用表示其矢量性。注意矢量的两种含义：2）三维位形空间中的矢量，用箭头标出，如、（小写表本征值）1）Hilbert空间中的矢量，如等512.动量算符

用P表示。动量算符的三个分量与经典分析力学中直角坐标下的正则动量对应。动量算符就与经典的相对应。无电磁场存在时，正则动量与机械动量一致，

正确的对应方法是先就所讨论的系统写出经典的拉格朗日函数体系处在保守力场V中，T为动能），其中用直角坐标，此时正则动量的定义是当粒子在电磁场中运动时，523.哈密顿算符

对单粒子，H算符的形式与经典分析力学中的哈密顿函数相对应，写为二、轨道角动量算符1.分量形式轨道角动量算符是与经典力学中的角动量相对应的算符53此规律要记住！的三个分量可以写成一个紧凑的形式而可以写成称为Levi-Civita符号，其定义是正序123，231，312乱序132，321，213其它（包括重复如221）54容易验证服从下列关系以第一式的证明为例：等式左边=对第一个求和55即同理有此三式相加，得﹟56记住！2.轨道角动量各分量间的对易关系（1）[证]57（然后利用