高中数学苏教版第三章概率互斥事件 2023版第3章互斥事件

互斥事件1．了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系．(易混、易错点)2．了解两种互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算．(重点)3．注重思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，知道转而采用逆向思维．(难点)[基础·初探]教材整理互斥事件、对立事件阅读教材P112～P113“例1”上边的内容，并完成下面的问题．1．互斥事件的概念不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．3．对立事件及概率公式(1)如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为eq\x\to(A).(2)对立事件A与eq\x\to(A)必有一个发生，故A＋eq\x\to(A)是必然事件．对立事件的概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．填空：(1)若事件A与事件B为对立事件，且P(A)＝eq\f(1,4)，则P(B)＝________.【解析】因为事件A与事件B为对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)(2)抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现3点”，事件C为“出现5点”，则“出现奇数点”的概率为________．【解析】由条件知事件A，B，C为互斥事件，设“出现奇数点”为事件D，则D＝A＋B＋C，由互斥事件概率加法公式得P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)[小组合作型]互斥事件、对立事件的判断某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．判断下列各事件是否是互斥事件，是否是对立事件．并说明理由．(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和全是女生；(3)至少有1名男生和至少有1名女生；(4)至少有1名男生和全是男生．【精彩点拨】找出各事件对立的试验结果，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断．【自主解答】(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：“恰有一名男生”即选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)是互斥事件，也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况，它与“全是女生”不可能同时发生，且其和事件是必然事件，所以是对立事件．(3)不是互斥事件，从而也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种情况，他们可同时发生，故不是互斥事件．(4)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，与“全是男生”可同时发生．1．判断两个事件是不是互斥事件时，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看他们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，再看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．[再练一题]1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”【解】(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以他们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.互斥事件的概率加法公式及其应用盒中装有各色球共12只，其中5只红球，4只黑球，2只白球，1只绿球，从中取一球，设事件A为“取出一球是红球”，事件B为“取出一球为黑球”，事件C为“取出一球是白球”，事件D为“取出一球是绿球”．求：【导学号：11032070】(1)事件A，B，C，D的概率；(2)“取出一球是红球或黑球”的概率；(3)“取出一球为红球或黑球或白球”的概率．【精彩点拨】先由古典概型求事件A、B、C、D的概率，然后用互斥事件的概率公式求解．【自主解答】(1)由古典概型概率公式，得P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).(2)设“取出一球是红球或黑球”为事件E，则E＝A＋B，因为事件A与事件B互斥．∴P(E)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).故“取出一球是红球或黑球”的概率为eq\f(3,4).(3)设“取出一球为红球或黑球或白球”为事件F，则F＝A＋B＋C，因为事件A、B、C两两互斥．∴P(F)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).故“取出一球为红球或黑球或白球”的概率为eq\f(11,12).1．解题时，首先要判断所给的已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知的互斥事件的和，最后用概率加法公式求解．2．公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)必须在事件A、B互斥的前提下使用，否则就不能用该公式．[再练一题]2．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18]概率计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10,16)(m)；(2)水位不低于14m.【解】设年最高水位在[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]范围内分别为事件A、B、C、D，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.(1)设“年最高水位在[10,16)内”为事件E，则E＝A＋B＋C，因为事件A、B、C互斥．∴P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，故年最高水位在[10,16)内的概率为.(2)设“水位不低于14m”为事件F，则F＝C＋D，因为事件C、D互斥，∴P(F)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.故水位不低于14m的概率为.[探究共研型]对立事件的概率公式及应用探究1从集合观点认识互斥事件、对立事件的概率公式：在集合中，我们有这样的结论：若记CardA为集合A中元素的个数，则有Card(A∪B)＝CardA＋CardB－Card(A∩B)．利用该公式如何去理解互斥事件概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)？同样，如何利用补集的概念去理解对立事件？【提示】由公式Card(A∪B)＝CardA＋CardB－Card(A∩B)可得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，而当A、B互斥时，P(A∩B)＝0，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．对于补集而言，类似的有P(A)＋P(eq\o(A,\s\up16(－)))＝1，从而P(eq\o(A,\s\up16(－)))＝1－P(A)．探究2一个盒子内装有标号为1,2,3的三张卡片，这些卡片除编号不同外其余完全一样，现有放回的抽取3次，每次1张．则“抽取的卡片上的数字不完全相同”包括多少种情况？“抽取的3张卡片上的数字完全相同”有多少种情况？如何计算“抽取的3张卡片上的数字不完全相同”的概率呢？【导学号：11032071】【提示】有放回的抽取3次，共有3×3×3＝27种情况，经列举可知“3张卡片上数字不同”包括24种情况，“3张卡片上的数字相同”包括3种情况．求事件“3张卡片上的数字不全相同”的概率时，很明显利用对立事件求解更简单．在某购物中心举行的“回报顾客”超低购物有奖活动中，一统计部门对购物中心交款处排队等候付款的人数及其概率统计如下表所示.排队人数02030405050人以上概率求：(1)至多有30人排队的概率；(2)至少有30人排队的概率．【精彩点拨】利用互斥事件概率公式及对立事件概率公式求解．【自主解答】设“没有人排队”为事件A1，“20人排队”为事件A2，“30人排队”为事件A3，“40人排队”为事件A4，“50人排队”为事件A5，“50人以上排队”为事件A6，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，P(A5)＝，P(A6)＝，且A1，A2，A3，A4，A5，A6两两互斥．法一：(1)记“至多有30人排队”为事件B，则B＝A1＋A2＋A3，∴P(B)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝，即至多有30人排队的概率为.(2)记“至少有30人排队”为事件C，则C＝A3＋A4＋A5＋A6.∴P(C)＝P(A3＋A4＋A5＋A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝＋＋＋＝.即至少有30人排队的概率为.法二：(1)同法一．(2)设“至少有30人排队”为事件C，则eq\o(C,\s\up6(－))＝A1＋A2.∴P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.∴P(C)＝1－P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－＝.即至少有30人排队的概率为.1．求复杂事件的概率的方法有两种：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是转化为求其对立事件的概率．2．对于涉及到“至多”“至少”的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解较简单．[再练一题]3．一个袋子内有9个小球，其编号分别为1,2，…，9.从中任取2个球，求编号至少有一个为奇数的概率．【解】从9个球中任取2个，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共计36种取法．记“编号至少有一个为奇数”为事件B，“编号全是偶数”为事件C，则事件C为从号数为2,4,6,8的四个球中任取2个，有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由对立事件的概率公式得，P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).即编号至少有一个奇数的概率为eq\f(5,6).1．给出下面四个结论：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件；②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件；④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件．其中，正确的结论是________．(填序号)【解析】由互斥事件与对立事件的定义知只有②④正确．【答案】②④2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．【解析】由互斥事件的定义知所求事件应为“两次都没中靶”．【答案】两次都没中靶3．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为,,.则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．【解析】设事件A为“在一次射击中，射中不够8环”，则eq\o(A,\s\up6(－))为“在一次射击中，射中8环、9环或10环”．∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝＋＋＝，P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－＝.【答案】4．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为________．【解析】依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＋PB＝，,PA＝3PB，))∴P(A)＝.【答案】5．某学校成立了舞蹈、美术、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图3­4­1所示．随机选出一个成员，求：图3­4­