高中数学苏教版第一章立体几何初步学业分层测评4

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．经过空间任意三点可以作________个平面．【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．【答案】一个或无数2．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中，命题叙述方式和推理都正确的命题是________．【解析】①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③正确．【答案】③3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中________．①必有三点共线；②必有三点不共线；③至少有三点共线；④不可能有三点共线．【解析】如图(1)(2)所示，①③④均不正确，只有②正确，如图(1)中A，B，D不共线．(1)(2)【答案】②4．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.【解析】因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.【答案】∈5．如图1­2­10所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是图1­2­10①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1四点共面；③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面．【解析】因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知①②③【答案】④6．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．【解析】∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．【答案】共线7．如图1­2­11所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)图1­2­11【解析】图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知图形②④中这四点均不共面．③中四点恰是正六边形的四点，故③正确．【答案】①③8．如图1­2­12所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1C与平面BDPQ的交线是__________.【导学号：6042023图1­2­12【解析】因为N∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C与平面BDPQ【答案】MN二、解答题9.如图1­2­13，点A∉平面BCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．图1­2­13【证明】∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH⊂平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直线BD上．10．如图1­2­14，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B图1­2­14【证明】因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．[能力提升]1．(2023·聊城高一检测)如图1­2­15，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．图1­2­15【解析】因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，故DE是△ABC与平面α的交线．又∵P在α内，也在平面ABC内，故P点在△ABC与平面α的交线DE上．【答案】P∈DE2．平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，R三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.【解析】如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.【答案】直线PR3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是【解析】如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，REeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))PQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中点F，G.∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，∴截面图形为正六边形．【答案】正六边形4．在棱长是a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线(1)画出交线l；(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离．【解】(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点．连结QN，则直线QN就是两平面的交线(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中点．又∵A1P∥D1N，∴A1P＝eq\f(1,2)D1N.∵N是D1C1的中点，∴A1P＝eq\f(1,4)D1C1＝eq\f(a,4)，∴PB1＝A1B1－A1P＝eq\f(3,4)a.(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝eq\f(a,2)，∴QN＝eq\r(QD\o\a