三角形与全等三角形复习

三角形与全等三角形复习要点梳理

1．三角形的边、角关系三角形的任意两边之和

第三边；三角形的内角和等于

．2．三角形的分类按角可分为

和

，按边可分为

和

．180°大于直角三角形斜三角形不等边三角形等腰三角形要点梳理

3．三角形的主要线段(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等．(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．要点梳理

(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．(4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．(5)垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．要点梳理

4．全等三角形的性质和判定(1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等．注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等．要点梳理

(2)判定：①

(SAS)；②

(ASA)；③

.(AAS)；④

对应相等的两个三角形全等(SSS)；⑤

对应相等的两个直角三角形全等(HL)．两边和夹角对应相等的两个三角形全等两角和夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等三边斜边和一条直角边要点梳理

两种思考途径(1)当图形明显具有对称性(轴对称或中心对称)或旋转性时，思考途径是：从居于对称位置的线、角或部分证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次全等提供所缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件；1．如图，在四边形ABCD中，对角线AB＝AD，CB＝CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)A．1对 B．2对C．3对 D．4对

随堂练习随堂练习2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.

3．(2013·陕西)如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A，B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D.求证：AC＝OD.三角形的三边关系【例1】

(1)(2013·宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(

)A．1，2，6

B．2，2，4

C．1，2，3

D．2，3，4(2)(2013·德阳)如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是(

)A．5.5B．5C．4.5D．4DA【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是(

)

A．5

B．10

C．11

D．12

(2)(2013·滨州)若从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为(

)

A.12

B.34

C.13

D.14

BA三角形的内角、外角的性质

【例2】

(1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝(

)A．50°B．40°C．20°D．10°D(2)一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格，请说明理由．解：(2)延长BD交AC于E.∵∠DEC是△ABE的外角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°.

同理∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°≠148°，∴这个零件不合格

2．(1)(2013·宁夏)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于()A．44°B．60°C．67°D．77°C(2)如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“＞”表示∠BPC，∠BDC，∠BAC之间的关系．解：∵∠BPC是△PCD的外角，∴∠BPC＞∠BDC，同理∠BDC＞∠BAC，∴∠BPC＞∠BDC＞∠BAC全等三角形判定的运用【例3】

(1)(2014·深圳)如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF()A．AC∥DFB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．∠ACB＝∠FC(2)(2013·娄底)如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD应添加的条件是

．(添加一个条件即可)∠B＝∠C或AE＝AD【点评】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．(1)(2013·绥化)如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件

，使得△EAB≌△BCD.AE＝CB(2)(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.①从图中任找两组全等三角形；②从①中任选一组进行证明．解：(2)①△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；②∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC，

在△ABE和△CDF中，îïíïì∠1＝∠2，∠ABE＝∠CDF，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(AAS)

运用全等三角形的性质【例4】已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证：BE＋CF＞EF.解：证明：延长ED到M，使DM＝ED，连接CM，FM.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.在△EDB与△MDC中，îïíïìBD＝DC，∠EDB＝∠CDM，ED＝DM，∴△EDB≌△MDC(SAS)，∴BE＝CM.在△FMC中，CF＋CM＞MF，又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM.∴CF＋CM＞EF，即CF＋BE＞EF

【点评】利用中线加倍延长法，把BE，CF，EF集中在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来证．4．(2014·重庆)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE＝CF；(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.①

如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝BH，

②

∠BEH＝45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE，∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45°，∴∠BEM＝45°＋45°＝90°，∴ME⊥BC

②由题意得，∠CAE＝45°＋12×45°＝67.5°，∴∠CEA＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5°，∴AC＝CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，îïíïìCM＝CM，AC＝CE，∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL)，∴∠ACM＝∠ECM＝12×45°＝22.5°，又∵∠DAE＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE＝∠ECM，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝12BC，在△ADE和△CDN中，îíì∠DAE＝∠ECM，AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN(ASA)，∴DE＝DN

试题如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠1＝∠2.求证：∠BAE＝∠CAE.

错解证明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2，∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE.

剖析(1)先看一个事实，如图，将等腰△ABC的底边BC延长线上的任一点和顶点A相连，所得的△DAB和△DAC无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对