高中数学苏教版第一章立体几何初步 学业分层测评10

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列有四个结论，其中正确的是________．(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．【解析】(1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．【答案】(4)2．一个正四棱柱的对角线的长是9cm，全面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.【解析】设底面边长，侧棱长分别为acm，lcm，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋a2＋l2)＝9，,2a2＋4al＝144，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,l＝7，))∴S侧＝4×4×7＝112cm2.【答案】1123．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________.【导学号：60420237】【解析】由题意可知S侧＝2×5×2eq\r(3)＋5×4＝20＋20eq\r(3).【答案】20＋20eq\r(3)4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．【解析】∵l＝eq\f(R＋r,2)，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.【答案】45．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为eq\f(\r(15),3)，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．【解析】斜高h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×4－2))2)＝eq\r(2)，S1＝eq\f(1,2)×(3×2＋3×4)×eq\r(2)＝9eq\r(2)，S2＝eq\f(\r(3),4)×22＋eq\f(\r(3),4)×42＝5eq\r(3)，∴S1>S2.【答案】S1>S26．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________【解析】设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.∴当r＝eq\f(πm,2π2－π)＝eq\f(m,2π－1)时，S全有最大值eq\f(πm2,4π－1).【答案】eq\f(πm2,4π－1)7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．【解析】如图，连结A1D1，AD1，则易知AD1为正六边形最长的对角线，由棱柱的性质，得AA1⊥A1D1，在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝eq\r(132－52)＝12，由正六棱柱的性质A1B1＝eq\f(1,2)A1D1＝6，S棱柱侧面积＝6×6×5＝180.【答案】1808．如图1­3­2，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为图1­3­2【解析】设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1­AB1C为四面体，每个面都是边长为eq\r(2)的正三角形，其表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶eq\r(3).【答案】1∶eq\r(3)二、解答题9.如图1­3­3所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.图1­3­3(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm，小棱锥底面边长为4cm，求截得棱台的侧面积和全面积．【解】(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为eq\f(a,2)，∴S大棱锥侧＝eq\f(1,2)c1h1＝eq\f(1,2)×6a×eq\r(b2－\f(a2,4))＝3aeq\r(b2－\f(a2,4))，S小棱锥侧＝eq\f(1,2)c2h2＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(3,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，S棱台侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝eq\f(1,2)(6a＋3a)×eq\f(1,2)eq\r(b2－\f(a2,4))＝eq\f(9,4)aeq\r(b2－\f(a2,4))，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)S侧＝eq\f(1,2)(c1＋c2)(h1－h2)＝144eq\r(2)(cm2)，S上＝6×eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝24eq\r(3)(cm2)，S下＝6×eq\f(1,2)×8×8×sin60°＝96eq\r(3)(cm2)，∴S全＝S侧＋S上＋S下＝144eq\r(2)＋120eq\r(3)(cm2)．10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【解】法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm.即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2xcm，所以A′D＝AD＝2xcm，又S轴截面＝eq\f(1,2)(A′B′＋AB)·A′D＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半径分别为7cm和21cm.法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3xcm，又SO′＝A′O′＝xcm，所以OO′＝2xcm.又S轴截面＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.综上，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半径分别为7cm，21cm.[能力提升]1．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．【解析】S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝3π2＋eq\f(9,2)π或S＝3π2＋2·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝3π2＋eq\f(1,2)π.【答案】3π2＋eq\f(9,2)π或3π2＋eq\f(1,2)π2．如图1­3­4，三棱锥S­ABC中底面△ABC为正三角形，边长为a，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，则三棱锥的侧面积为________.【导学号：60420238】图1­3­4【解析】取AC的中点M，连结SM，MB.∵△SAC，△ABC为全等正三角形，∴SM⊥AC，BM⊥AC，且SM＝BM＝eq\f(\r(3),2)a，△SAB≌△SCB.又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC.SM⊂平面SAC，∴SM⊥平面ABC.过M作ME⊥BC于点E，连结SE，则SE⊥BC.在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，∴ME＝eq\f(\r(3),4)a，可求SE＝eq\r(SM2＋ME2)＝eq\f(\r(15),4)a.∴S△SBC＝eq\f(1,2)BC·SE＝eq\f(\r(15),8)a2，∴S侧＝S△SAC＋2S△SBC＝eq\f(\r(3)＋\r(15),4)a2.【答案】eq\f(\r(3)＋\r(15),4)a23．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝__________.【解析】由题意可把三棱锥A1­ABC与四棱锥A1­BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为eq\f(\r(6),3).而四棱锥A1­BCC1B1的高为eq\f(\r(2),2)，则h1∶h2∶h＝eq\f(\r(2),2)∶eq\f(\r(6),3)∶eq\f(\r(6),3)＝eq\r(3)∶2∶2.【答案】eq\r(3)∶2∶24．如图1­3­5所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4