高中数学人教B版第二章数列 学业分层测评16

学业分层测评(十六)不等式的性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>N ＝NC．M<N D.与x有关【解析】M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0.∴M>N.【答案】A2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是()\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))【解析】由题中x不低于95，即x≥95，y高于380，即y>380，z超过45，即z>45.【答案】D3．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是()\f(1,a)<eq\f(1,b) \f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2>2b >b2【解析】A错，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－2，此时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；B错，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝2，此时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；C错，例如a＝eq\f(5,4)，b＝eq\f(15,16)时，a2＝eq\f(25,16)，2b＝eq\f(30,16)，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，D正确．【答案】D4．(2023·安徽六校联考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正确的不等式的个数有()A．0个 B．1个C．2个 个【解析】由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正确；由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，那么a>b，即③错误，故选B.【答案】B5．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则2α－eq\f(β,3)的范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,6)π)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5,6)π))C．(0，π) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))【解析】0<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，由同向不等式相加得到－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π.【答案】D二、填空题6．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________．【解析】(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以x2＋2>3x.【答案】x2＋2>3x7．给出的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能得出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的是________.【导学号：33300087】【解析】由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，可得eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，故①②④可推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b).【答案】①②④8．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类eq\f(1,2)B类eq\f(1,3)6今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．【解析】设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝＋6×(50－x)＝300＋≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．【答案】20330三、解答题9．(1)a<b<0，求证：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求证：ab>0.【证明】(1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．(1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；(2)已知12<a<60,15<b<36，求a－b和eq\f(a,b)的取值范围.【导学号：33300088】【解】(1)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))，∵x<1，∴x－1<0，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0，∴x3－1<2x2－2x.(2)∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15.∴－24<a－b<45.又eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15).∴eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.综上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.[能力提升]1．(2023·菏泽高二检测)若a>b>0，c<d<0，则一定有()\f(a,c)>eq\f(b,d) \f(a,c)<eq\f(b,d)\f(a,d)>eq\f(b,c) \f(a,d)<eq\f(b,c)【解析】令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，所以A，B错误；eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，所以C错误．故选D.【答案】D2．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D.①②③【解析】由a>b>1，得0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，所以eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正确；幂函数y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上是减函数，所以ac<bc，②正确；因为a－c>b－c>0，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．故①②③均正确．【答案】D3．(2023·福建泉州月考)若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤eq\f(a,y)>eq\f(b,x)，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_____________________________．【解析】令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b.∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立；又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立；又∵eq\f(a,y)＝eq\f(3,－3)＝－1，eq\f(b,x)＝eq\f(2,－2)＝－1，∴eq\f(a,y)＝eq\f(b,x)，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．【答案】②④4．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的．试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【解】设该单位有职工n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq