概率论与数理统计1

概率论与数理统计概率论是研究随机现象的统计规律的一门学科特点：研究对象的不确定性第一章随机事件的概率概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。样本空间一个随机试验的所有可能结果组成的集合，记为。其中每一个元素，即每次试验结果称为一个样本点。第一章随机事件的概率随机试验

E试验结果的多种可能性，事先知道结果的不能预测性随机试验E

的样本空间的子集，称为E的随机事件，或事件，用大写字母A，B，C,…表示由一个样本点组成的单点集称为基本事件。样本空间有两个特殊子集：必然事件，和不可能事件随机事件例如E1

抛硬币试验E2

连抛两个硬币E4

进入超市的人数E5

测试电视机寿命E6

观测天气第一章随机事件的概率包含A发生必然导致B发生相等

和事件积事件差事件互逆（对立）互不相容第一章随机事件的概率事件间的关系和运算第一章随机事件的概率运算规律交换律结合律分配律对偶律第一章随机事件的概率例1.设A，B，C是随机事件，则事件“A与B发生，C不发生”“A，B，C至少两个发生”“A，B，C恰好两个发生”“A，B，C不多于一个事件发生”例2.用集合表示下面随机试验中的样本空间与随机事件A某地温度上下限为T0

到T1，一昼夜内出现的最高最低气温为(x,y)；事件A=“一昼夜内该地的温差为10°”例题第一章随机事件的概率

概率

一次试验中事件A

发生的可能性，成为事件A的概率，记为

P(A)。

概率看成频率的稳定值概率的计算

（1）古典概型:事件A包含的基本事件数/样本空间中的事件数

P(A)=nA/nΩ

（2）几何概型:事件A的区域面积/样本空间的区域面积

P(A)=SA/SΩ

例圆中的弦通过半径减半的同心圆的概率?第一章随机事件的概率概率的性质1.P(Ω)=1,P(φ)=0,0≤P(A)≤12.（有限可加性）若A1,A2,A3两两互不相容

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)3.若A

B,则P(B－A)=P(B)－P(A),P(B)≥P(A)4.P(

)=1－P(A)5.（加法公式）对任两个事件

P(A∪B)=P(A)+P(B)－

P(AB)第一章随机事件的概率例1.P(A)=0.3,P(A∪B)=0.6;P(

)=?例2.P(A)=P(B)=0.5,求证P(AB)=P()例3.袋中4只白球，2只黑球，无放回依次摸2只球，试求取到两只球： （1）都是白球的概率；（2）同色球的概率 （3）至少一只白球的概率例4.n个球随机放入N（N≥n）个盒子中去，求每个盒子至多有一个球的概率，恰有n个盒子中各有一个球的概率例5（Buffen投针问题）平行线距离为a(a>0)，投掷一枚长(L<a)的针，求针与平行线相交的概率例题1.2.3.设A=“第一只摸到白球”，B=“第二只摸到白球”5.xa设落下的针的中心距离最近的平行线为x

，与平行线交角a;那么针的落地位置范围，即样本空间为而相交平行线的条件，即事件A

为相交的概率为红色面积比黄框面积第一章随机事件的概率条件概率

A,B两事件，P(B)>0，在事件B

发生的条件下事件A

发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)由于样本空间不同

一般地

P(A)≠P(A|B)

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间。设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称2.条件概率的计算为在事件B发生的条件下,事件A的发生概率.概率树计算条件概率BB′A′AA′AP(B)P(B’)P(A|B)P(A’|B)P(A|B’)P(A’|B’)第一级互斥事件上一级情况下的下一级事件发生不发生例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解：设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}

求P(A|B)=？应用计算公式在B发生后的缩减样本空间中计算由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).将A、B的位置对调，有若

P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率例2

甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，求(1)求的是P(AB).甲、乙共生产1000个189个是标准件300个乙厂生产设B={零件是乙厂生产},A={是标准件}(2)求的是P(A|B).B发生,

在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.条件概率P(A|B)与P(AB)的区别1.这个零件是乙厂生产的标准件的概率？2.发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?

例3设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).多个事件的乘法公式设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则乘法公式应用举例一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

（波里亚罐子模型）b个白球,r个红球于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”

b个白球,r个红球随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.解设Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是红球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出当c>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一场精彩的足球赛将要举行,5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去,只好用抽签的方法来解决。

入场券5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？

我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”

i＝1,2,3,4,5.显然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1个人抽到入场券的概率是1/5.则表示“第i个人未抽到入场券”因为第2个人抽到入场券，第1个人肯定没抽到.也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，计算得：由于由乘法公式P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到。因此继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，P(A3)=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5例4设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按（1）有放回抽样；（2）不放回抽样两种方式摸球三次每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。解：设A={第一次未摸得白球}；

B={第二次未摸得白球}；

C={第三次摸到白球}；则，事件“第三次才摸得白球”可表为ABC。（1）有放回抽样（2）不放回抽样例5设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是0.7，若前两次均未打破，第三次落下打破的概率为0.9。试求透镜落下三次未打破的概率。解：设Ai={透镜第i

次落下打破}，i=1,2,3,

B={透镜落下三次未打破}，则另解：例6．100件产品中，有5件废品。不放回抽样检查，若抽查5件至少有一件废品，则拒购这批产品，求拒购概率。解：设Ai={第i次没抽到废品}，i=1,2,3,4,5

B={至少抽到一件废品}，则第一章随机事件的概率

例题第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12。两车间的产品分别有2000

件和3000

件，混放在仓库里，问：在仓库里随机取一件成品，其次品率是多少？若取到一件次品，由一车间生产的概率是多少？全厂的次品概率=各车间的次品概率的加权和第一章随机事件的概率

例题从仓库里随机取一件成品：设事件A1，A2

分别为一、二车间生产的产品；事件B

为该产品是次品。一车间的产品占P(A1)=0.4，次品率P(B|A1)=0.15二车间的产品占P(A2)=0.6，次品率P(B|A2)=0.12第一问求P(B)，第二问求P(A1|B).B次品A1

一车间A2

二车间P(B)蓝色的面积P(A1|B)蓝色中上一块所占的比P(B|A1)橙色中蓝色所占的比2000300015%12%第一章随机事件的概率全概率公式设事件A1,A2互不相容，P(A1)>0，P(A2)>0，且B⊂A1∪A2，P(B)

=P(

B(A1∪A2))

=P(BA1)

+

P(BA2)

=P(A1)

P(B|A1)+P(A2)

P(B|A2)

先将复杂的事件B分解为较简单的事件A1B

与

A2B

;再加法法则与乘法法,计算出需要求的概率.这称全概率公式.例有12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回,求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。

因为一开始都是新球,因此第一次只能取到3

个新球，当第二次取球的时候,12

个乒乓球中必然有3

个旧球。假设B0,B1,B2,B3

为第二次取到0个,1个,2个3个新球,而B0,B1,B2,B3

构成完备事件组，并能够求出它们的概率。再假设C3

为第三次取到3

个新球的事件，则针对C3

使用全概率公式。解：全概率公式第一章随机事件的概率贝叶斯公式设事件A1,A2

互不相容，P(A1)>0，P(A2)>0，且B

⊂A1∪A2，则有（逆概率公式）_______________________________P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)P(A1)P(B|A1)P(A1|B)=第一章随机事件的概率

例题

诊断肝癌问题

已知肝癌患者0.95能被诊断出来，非肝癌患者0.99会被排除有病，而肝癌患者约占0.004。问：诊断出患有肝癌的人中确有肝癌的概率是多少？设C=“的确患有肝癌”，A=“诊断有肝癌”。则P(A|C)=0.95,P(~A|~C)=0.99,P(C)=0.004P(A)=P(A|C)*P(C)+P(A|~C)*P(~C)=0.95*0.004+0.01*0.996=0.01376P(C|A)=P(A|C)P(C)/P(A)=0.95*0.004/0.01376=0.276第一章随机事件的概率全概率公式、贝叶斯公式1．甲乙丙三人独立地同时瞄准飞机射击，击中的概率均为2/3.飞机遭一击而落的概率为1/6，遭两击而落的概率为1/2，遭三击则必落。求飞机可被击落的概率。2．男人中的4%以及女人中的0.25%都为色盲。从男女相等的人群中随机挑出一人恰好是色盲，问其是男性的概率是多少？练习例3经分析利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%。如利率下调,股价上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下,股价上涨的概率为40%。求股价上涨的概率。解：记A为事件“利率下调”,则A为“利率不变,记B为事件"股价上涨".据题设知

P(A)=60%, P(A)=40%,

P(B|A)=80%, P(B|A)=40%.

于是P(B)=P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.60.8+0.40.4=0.64.例4对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合格率为55%.每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格时,机器调整良好的概率是多少?解设A为事件“产品合格”,B为事件“机器调整良好”。已知

P(A|B)=0.98,P(A|B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,

所需求的概率为P(B|A)。则第一章随机事件的概率相互独立事件若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A

与B

相互独立充要条件：P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)例，A=“概率学得好的同学”

B=“篮球打得好的同学”事件

A

与

B

相互独立ABB在A和A的补里面的比例分配相同相互独立事件若事件A

与B

相互独立，则A

与也相互独立。P(A)>0,P(B)>0,事件A,B

相互独立与互不相容不能同时成立。第一章随机事件的概率当A，B

相互独立当A，B

互不相容A第一章随机事件的概率相互独立事件事件A,B,C

相互独立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C)