高中数学人教B版第三章概率 学业分层测评20随机数的含义与应用

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.与均匀随机数特点不符的是()A.它是[0,1]内的任何一个实数B.它是一个随机数C.出现的每一个实数都是等可能的D.是随机数的平均数【解析】A，B，C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”.【答案】D2.要产生[－3,3]上的均匀随机数y，现有[0,1]上的均匀随机数x，则y可取为()A.－3x －3 D.－6x－3【解析】法一：利用伸缩和平移变换进行判断；法二：由0≤x≤1，得－3≤6x－3≤3，故y可取6x－3.【答案】C3.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为()\f(4,9π) \f(9,4π)\f(4π,9) \f(9π,4)【解析】由题意知所求的概率为P＝eq\f×,π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,2)))2)＝eq\f(4,9π).【答案】A4.一次试验：向如图3­3­13所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形的豆子的总数为N粒，其中有m(m<N)粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为()图3­3­13\f(m,N) \f(2m,N)\f(3m,N) \f(4m,N)【解析】设正方形的边长为2a，依题意，P＝eq\f(πa2,4a2)＝eq\f(m,N)，得π＝eq\f(4m,N)，故选D.【答案】D5.(2023·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图3­3­14所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图3­3­14\f(π,2) \f(π,4)\f(π,6) \f(π,8)【解析】设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝eq\f(阴影面积,长方形面积)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).【答案】B二、填空题6.如图3­3­15，矩形的长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________.图3­3­15【解析】∵矩形的长为6，宽为3，则S矩形＝18，∴eq\f(S阴,S矩)＝eq\f(S阴,18)＝eq\f(125,300)，∴S阴＝eq\f(15,2).【答案】eq\f(15,2)7.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________.【解析】∵方程无实根，∴Δ＝1－4a<0，∴a>eq\f(1,4)，即所求概率为eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)8.如图3­3­16，在一个两边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为eq\f(1,4)a与eq\f(1,2)a，高为b，向该矩形内随机投一点，那么所投点落在梯形内部的概率为________.【导学号：25440059】图3­3­16【解析】∵图中梯形的面积为s＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋\f(1,2)a))×b＝eq\f(3,8)ab，矩形的面积为S＝ab，∴落在梯形内部的概率为：P＝eq\f(s,S)＝eq\f(\f(3,8)ab,ab)＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)三、解答题9.箱子里装有5个黄球，5个白球，现在有放回地取球，求取出的是黄球的概率，如果用计算机模拟该试验，请写出算法.【解】P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，用计算机模拟法时可认为0～1之间的随机数x与事件的对应是：当x在0～时，确定为摸到黄球；当x在～1之间时，确定为摸到白球.具体算法如下：S1，用计数器n记录做了多少次摸球的试验，用计算器m记录其中有多少次显示的黄球，置n＝0，m＝0；S2，用函数rand产生一个0～1的随机数x；S3，如果这个随机数在0～之间，我们认为是摸到黄球，判断x是不是在0～之间，如果是，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变；S4，表示随机试验次数的记录器n加1，即n＝n＋1，如果还需要继续试验，则返回S2继续执行；否则，执行S5；S5，摸到黄球发生的频率eq\f(m,n)作为概率的近似值.10.对某人某两项指标进行考核，每项指标满分100分，设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的.单项80分以上，且总分170分以上才合格，求他合格的概率.【解】设某人两项的分数分别为x分、y分，则0≤x≤100,0≤y≤100，某人合格的条件是80＜x≤100，80＜y≤100，x＋y＞170，在同一平面直角坐标系中，作出上述区域(如图阴影部分所示).由图可知：0≤x≤100,0≤y≤100构成的区域面积为100×100＝10000，合格条件构成的区域面积为S五边形BCDEF＝S矩形ABCD－S△AEF＝400－eq\f(1,2)×10×10＝350，所以所求概率为P＝eq\f(350,10000)＝eq\f(7,200).该人合格的概率为eq\f(7,200).[能力提升]为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为()\f(13,25) \f(3,5)\f(13,25π) \f(3,5π)【解析】设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y0,2)))2＝eq\f(9,4)，故M轨迹是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，\f(y0,2)))为圆心，以eq\f(3,2)为半径的圆，又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，所以在C2内部任取一点落在M内的概率为eq\f(16π－π,25π)＝eq\f(3,5)，故选B.【答案】B2.(2023·广州模拟)如图3­3­17，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为()图3­3­17\f(3＋\r(3),16π) \f(3＋\r(3),4π)\f(4π,3＋\r(3)) \f(16π,3＋\r(3))【解析】由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝2R(R为圆的半径)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝20sin60°，,AC＝20sin45°))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝10\r(3)，,AC＝10\r(2).))那么S△ABC＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)sin75°＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝25(3＋eq\r(3)).于是，豆子落在三角形ABC内的概率为eq\f(S△ABC,S圆)＝eq\f(253＋\r(3),102π)＝eq\f(3＋\r(3),4π).【答案】B3.(2023·保定模拟)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点【解析】如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－eq\f(2π,3)，根据几何概型概率公式得，点P与点O的距离大于1的概率P＝eq\f(23－\f(2π,3),23)＝1－eq\f(π,12).【答案】1－eq\f(π,12)4.从甲地到乙地有一班车