历年高考数学真题精选29直线与平面所成的角

历年高考数学真题精选(按考点分类)专题29专题29直线与平面所成的角(学生版)一.解答题(共15小题)(2019•上海)如图，在长方体ABCD-ABCD中，M为BB上一点，已知BM=2,CD=3,1111 1(1)求直线AC和平面ABCD的夹角;1(2)求点A到平面AMC的距离.1为管1为管1(2019•天津)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，APCD为等边三角形，平面PAC1平面PCD,PA1CD,CD=2,AD=3.(I)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH//平面PAD；(II)求证：PA1平面PCD；(III)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.PCPC(2019•浙江)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面々ACC11平面ABC,/ABC=90。,ZBAC=30。，AA=AC=AC,E,F分别是AC,AB的中点.1 1 11(I)证明：EF1BC；(II)求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.1第1页(共29页)

(2018•天津)如图，在四面体ABCD中，AABC是等边三角形，平面ABC1平面ABD,点M为棱AB的中点，AB=2,AD=2<3,ZBAD=90。.(I)求证：AD1BC；(II)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(III)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.C(2018•天津)如图，AD//BC且AD=2BC,AD1CD,EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG,DG1平面ABCD,DA=DC=DG=2.(I)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；(II)求二面角E-BC-F的正弦值；(I)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60。，求线段DP的长.第2页(共29页)

(2018•浙江)如图，已知多面体ABCA^B1C,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ZABC=120。，AA=4,CC=1,AB=BC=BB=2.1 1 1(I)证明：AB±平面ABC；1 111(II)求直线AR与平面ABB1所成的角的正弦值.B(2018•新课标I)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把ADFC折起，使点C到达点P的位置，且PF±BF.(1)证明：平面PEF±平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.PP(2017•上海)如图，直三棱柱ABC-A/1cl的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱KA1的长为5.(1)求三棱柱ABC-A/1cl的体积；(2)设M是BC中点，求直线AM与平面ABC所成角的大小.1第3页(共29页)(2017•浙江)如图，已知四棱锥P-ABCD,APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(I)证明：CE//平面PAB；(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.(2017•天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，AD1平面PDC,AD//BC,PD1PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(II)求证：PD1平面PBC；(III)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(2016•浙江)如图，在三棱台ABC—DEF中，平面BCFE1平面ABC,ZACB=90。，BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：BF1平面ACFD；(I)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值..（2016•新课标I）如图，四棱锥P—ABCD中，PA1底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明：MN//平面PAB；第4页(共29页)

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(2016"天津)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED±平面ABCD,EF//AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=、6,/BAD=60。，G为BC的中点.(1)求证：FG//平面BED；(2)求证：平面BED±平面AED；(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.(2015•天津)如图，已知AA±平面ABC,BB//AA,AB=AC=3,BC=2v5,AA=<7,1 1 1 1BB1=2行，点E和F分别为BC和A1c的中点.(I)求证：EF//平面ABBA；11(II)求证：平面AEA11平面BCB1；(III)求直线A/1与平面BCB所成角的大小.第5页(共29页)

51C（2015•新课标H）如图，长方体ABCD-A1B1CD中，AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,DC上，A1E=DF=4，过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面a所成角的正弦值.A S第6页（共29页）历年高考数学真题精选（按考点分类）专题29专题29直线与平面所成的角（教师版）一.解答题（共15小题）1.（2019•上海）如图，在长方体ABCD-ABCD中，M为BB上一点，已知BM=2,CD=3,1111 1AD=4,AA1=5.(1)求直线AC和平面ABCD的夹角;1（2）求点A到平面AMC的距离.解：（1）依题意：AA±平面ABCD，连接AC，则AC与平面ABCD所成夹角为ZACA,QAAQAA1=5,AC=也2+42=5,・•.△ACA为等腰三角形，1兀・・.ZACA=—,1 4冗.•・直线AC和平面ABCD的夹角为一,14（2）（空间向量），如图建立坐标系，第7页（共29页）

则A(0,0,0),C(3,4,0),则A(0,0,0),C(3,4,0),umr uuurAC=(3,4,0),A1c=(3,4,-5),uuuurMCuuuurMC=(0,4.-2),设平面AMC的法向量n=(%,y,z),1ruurTOC\o"1-5"\h\zngAC=3%+4y-5z=0 rruuur ,可得n=(2,1,2),ngMC=4y-2z=0murr上4MHM, 口匚声,IACgnI 3x2+4x1 10.••点A到平面AMC的距离d=r=. ==-1 1n1 v22+12+22 3(2019•天津)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，APCD为等边三角形，平面PAC1平面PCD,PA1CD,CD=2,AD=3.(I)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH//平面PAD；(III)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.PC(II)求证：(III)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.PC证明：(I)连结BD，由题意得ACIBD=H,BH=DH,又由BG=PG，得GH//PD,QGH仁平面PAD,PDu平面PAD・•.GH//平面PAD.第8页(共29页)

（II）取棱PC中点N，连结DN,依题意得DN1PC,又Q平面PAC1平面PCD，平面PACc平面PCD=PC,.•・DN1平面PAC,又PAu平面PAC,「.DN1PA,又PA1CD,CDIDN=D,二.PA1平面PCD.解：（III）连结AN，由（II）中DN1平面PAC,知ZDAN是直线AD与平面PAC所成角，QAPCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，DN=*3，又DN1AN,在RtAAND中，sinZDAN=——=——.DA3 、：33C直线AD与平面PAC所成角的正弦值为一.3C3.(2019•浙江)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C,平面A1ACC11平面ABC,ZABC=90。,ZBAC=30。，AA=AC=AC,E,F分别是AC,AB的中点.1 1 11(I)证明：EF1BC；(I)求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.第9页（共29页）方法证明：（I）连结AE,QAA=AC,E是AC的中点，1 1 1・・.AE±AC,1又平面A1ACC1±平面ABC,A1Eu平面々ACC1,平面A1ACC1c平面ABC=AC,・•.A1E1平面ABC,「.A1E±BC,QA1F//AB,ZABC=90°,/.BC±A/,..・BC1平面AEF,「.EF1BC.1解：（II）取BC中点G,连结EG、GF,则EGFA］是平行四边形，由于A1E1平面ABC，故A1E1EG,・•・平行四边形EGEA1是矩形，由（1）得BC1平面EGFA,则平面A1BC1平面EGFA,・•・EF在平面ABC上的射影在直线AG上，连结AG，交EF于O，则ZEOG是直线EF与平面ABC所成角（或其补角），TOC\o"1-5"\h\z不妨设AC=4，则在Rt△AEG中，AE=2、A,EG=<3,1 1QO是AG的中点，故EO=OG= =,1 2 2...cosZEOG...cosZEOG=EO2+OG2—EG2

2xEOxOG第10页（共29页）3.•・直线EF与平面ABC所成角的余弦值为3.1 5方法二：证明：（I）连结AE,QAA=AC,E是AC的中点，1 1 1・・.AE±AC,1又平面A1ACC1±平面ABC,A1Eu平面々ACq,平面A1ACC1c平面ABC=AC,・•.AE±平面ABC,1如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，ECEC,EA1所在直线分别为j,z轴建立空间直角坐标系，W3W3,2c3),C(0,2,0),2>2>uuur _AC=(0,2,-2v3)1设AC=4,则A(0,0,2k3),B(<3,1,0),B(V3,3,2<3),F(1uur "33 _ unr 一EF=(y,2,2v3),BC=(-x-3,1,0),uuruur由EFgBC=0，得EF1BC.解：（II）设直线EF与平面ABC所成角为9,1uur—由(1)得BC=(f31,0)，r设平面ABC的法向量n=(x,j,z),1「uurr厂BCg=-V3x+j=0取zBr6则〈umrr「 ，取x=1,得n=(1,43,1),ACgn=j-V3z=01uurr.八 IEFgnI 4二.sin9=uur—丁=一,EFIgnI5.•・直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为^1-(|)2=3第11页（共29页）X(2018•天津)如图，在四面体ABCD中，AABC是等边三角形，平面ABC1平面ABD,点M为棱AB的中点，AB=2,AD=2、,：3,ZBAD=90。.(I)求证：AD1BC；(II)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(III)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.C(I)证明：由平面ABC1平面ABD，平面ABCn平面ABD=AB,AD1AB,得AD1平面ABC，故AD1BC；(II)解：取棱AC的中点N，连接MN,ND,QM为棱AB的中点，故MN//BC,:.ZDMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成角，在RtADAM中，AM=1,故DM=\:AD2+AM2=<13,QAD1平面ABC，故AD1AC,在RtADAN中，AN=1,故DN=、；a^D2+AN2=v13,1MN左在等腰二角形DMN中，MN=1,可得cosZDMN=2——=——DM26••・异面直线BC与MD所成角的余弦值为13；26(I)解：连接CM,QAABC为等边三角形，M为边AB的中点，第12页(共29页)

故CM1AB,CM=<3,又Q平面ABC1故CM1AB,CM=<3,故CM1平面ABD，则ZCDM为直线CD与平面ABD所成角.在RtACAD中，CD=\AC2+AD2=4,在RtACMD中，sinZCDM=CM=巨.CD4…一，……一一行・•・直线CD与平面ABD所成角的正弦值为一.(2018•天津)如图，AD//BC且AD=2BC,AD1CD,EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG，DG1平面ABCD，DA=DC=DG=2.(I)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；(II)求二面角E-BC-F的正弦值；(III)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60。，求线段DP的长.unrunr(I)证明：依题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DG的方向为x轴，J轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),3E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,-,1),N(1,0,2).第13页(共29页)

ur设n=(%,y,z)为平面CDE的法向量，0rUQTUULT,ngDC=2y=0 ,一ur则<uruur ，不妨令z=一1,可得n-(1,0,-1)；ngDE-2%+2z-0 00uuur3 uuurur又MN=(1,一一,1)，可得MNgn=0.0又Q直线MN《平面CDE,:.MN//平面CDE；uuur uuur uuur(II)解：依题意，可得BC-(-1,0,0),BE-(1,-2,2),CF-(0,-1,2).r设n-(%,y,z)为平面BCE的法向量，rruur„,ngBC——%—0 T上、人 —r则<ruur ，不妨令z-1,可得n-(0,1,1).ngBE-%-2y+2z-0r设m-(%,y,z)为平面BCF的法向量，ruuur„,mgBC-—%—0 —上、人 ―/口r则<ruur ，不妨令z-1,可得m-(0,2,1).mgCF=-y+2z=0rrrr mgrrrr mgn因此有cos<m,n>=r广ImlgnI3"1010于是sin<rrv10

m,n>= 10.•・二面角E-BC-F的正弦值为..•・二面角E-BC-F的正弦值为.；10(III)解：设线段DP的长为h，(he[0,2])，则点P的坐标为(0，0，h)，uuur uuur可得BP-(-1,-2,h)，而DC-(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，uuuruur…uuruuurIBPCDI 2故Icos<BP,DC>l-uur^ur- .IBPIgDCIhh2+5由题意，可得.二 二sin60°———■，解得h———■e[0，2].,h2+5 2 3••・线段DP的长为—.3第14页(共29页)6.（2018•浙江）如图，已知多面体ABCA^BC,A1A,BB,CC均垂直于平面ABC,ZABC=120。，AA=4,CC=1,AB=BC=BB=2.TOC\o"1-5"\h\z1 1 1(I)证明：AB±平面ABC；1 111（II）求直线AR与平面ABB1所成的角的正弦值.(I)证明：QA1A±平面ABC,BB1平面ABC,A4//BB,QAA1=4,BB=2,AB=2,•.AB=\(AB)2+(AA-BB)2=2<2,11 1 1又AB=aBB2+BB2=2<2,/.AA2=AB2+AB2,1 1 1 111•.AB]1%，同理可得：AB11B1C1,又A/JB1cl=B,•.AB11平面A/1cl.第15页（共29页）

（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C于D,QAB=BC，「.OB1OC，QAB=BC=2，ZBAC=120。，/.OB=1,OA=OC=、3，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，石，1），uur_ umrABuur_ umrAB=(1，V3，0)，BB1=(0，0，r设平面ABB.的法向量为n=(%，y，2)umnr 一Aq=(0，2V3，1)，ruurngAB=0ruuur，ngBBl=0i12；=fy=0，令y=1可得克=（一a-），ruur_一ruuur rgAC 2<3 <39/.cos<n,AC>=f_uuur= == 1InIIACI2义V13 131ruuur ,.；3o设直线AJ与平面ABB1所成的角为9，则sin9=Icos<n,Aq>I=宁:1311・•・直线AC1311・•・直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为也.7.（2018•新课标I）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ADFC折起，使点C到达点P的位置，且PF1BF.（1）证明：平面PEF1平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.第16页（共29页）p(1)证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，1 1一贝UAE=-AD,BF=—BC,2 2由于四边形ABCD为正方形，所以EF1BC.由于PF1BF,EFIPF=F，则BF1平面PEF.又因为BFu平面ABFD，所以：平面PEF1平面ABFD.(2)在平面PEF中，过P作PH1EF于点H，连接DH,由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH1EF,则PH1面ABFD，故PH1DH.在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH,因为DE//BF且PF1BF,所以PF1DE,又因为APDF=ACDF,所以/FPD=/FCD=90。，所以PF1PD,由于DEIPD=D，则PF1平面PDE,故y =1PFgS ,F-PDE3 APDE因为BF//DA且BF1面PEF,所以DA1面PEF,所以DE1EP.设正方形边长为2a,则PD=2a,DE=a在APDE中，PE=<3a,…右所以S =—a2,APDE2第17页(共29页)故V =^~a3,F-PDE6又因为S =-aga=a2,ADEF2所以PH=3匕—pde=——a,a2 2所以在APHD中，sinZPDH=PH=旦,PD4即ZPDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：—48.（2017"上海）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱KA1的长为5.（1）求三棱柱ABC-A/1cl的体积；（2）设M是BC中点，求直线AM与平面ABC所成角的大小.1解：（1）Q直三棱柱ABC-A/1cl的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱坐的长为5.••・三棱柱ABC-A/1cl的体积:V=S^BCXAA1=1xABxACxAA2 1=1x4x2x5=20.2(2)连结AM,第18页（共29页）Q直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点，・•.AA±底面ABC,AM=-BC=-<16+4=v5,i 2 2・../AMA是直线AM与平面ABC所成角，1 1tanNAMA= r=-=55，AMv5直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctanl5.9.（2017•浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD,APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE//平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.P证明：（I）取AD的中点/，连结EF,CF,QE为PD的中点，EF//PA,在四边形ABCD中，BC//AD,AD=2DC=2CB,F为中点，・•.CF//AB,.•・平面EFC//平面ABP,QECu平面EFC,EC//平面PAB.解：（II）连结BF，过F作FM1PB于M，连结PF,QPA=PD,，PF1AD,推导出四边形BCDF为矩形，，BF1AD,第19页（共29页），AD±平面PBF，又AD//BC,:.BC1平面PBF,BC1PB,设DC=CB=1,由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2,:PB=\CC2—BC2=v4^1=♦-3,BF=PF=1,:MF=1,2又BC1平面PBF,:BC1MF,•:MF1平面PBC，即点F到平面PBC的距离为1,2QMF=1,D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为1,2 2E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，•:E到平面PBC的距离为1，4在APCD中,PC=2,CD=1,PD=21，由余弦定理得CE=<2，1设直线CE与平面PBC所成角为。，则sin9=工-=—CE8P（2017•天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，AD1平面PDC,AD//BC,PD1PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(II)求证：PD1平面PBC；(III)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.第20页(共29页)

AA【解答】解：（I）如图，由已知AD//BC,故/DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD±平面PDC，所以AD±PD.AP在RtAPDA中，由已知，得AP=\AD2+PD2=<5,故cosZDAP= -.AP所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为个.证明：（II）因为AD±平面PDC，直线PDu平面PDC,所以AD±PD.又因为BC//AD，所以PD1BC,又PD1PB，所以PD1平面PBC.解：（III）过点D作AB的平行线交BC于点尸，连结PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD1平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以ZDFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC,DF//AB，故BF=AD=1,由已知，得CF=BC—BF=2.又AD1DC，故BC1DC,在RtADPF中，可得sinZDFP=PD=}5.DF55所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为—.5第21页（共29页）A(2016•浙江)如图，在三棱台ABC—DEF中，平面BCFE1平面ABC,ZACB=90。,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：BF1平面ACFD；(II)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.DF【解答】解：(I)证明：延长AD,BE,CF相交于一点K，如图所示：Q平面BCFE1平面ABC，且AC1BC；.•・AC1平面BCK,BFu平面BCK；.•・BF1AC；又EF//BC,BE=EF=FC=1,BC=2；/.ABCK为等边三角形，且F为CK的中点；.•・BF1CK，且AC1CK=C；/BF1平面ACFD；QBF1平面ACFD；,ZBDF是直线BD和平面ACFD所成的角;QF为CK中点，且DF//AC；/DF为AACK的中位线，且AC=3；./DF=-；2又BF=v-；第22页(共29页)i _ 3 _・•・在RtABFD中，BD=、'3+9=且,cos/BDF="=~^==21；；42 BD*21 7~T 历即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为——7B12.（2016•新课标山）如图，四棱锥P—ABCD中，PA±底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（1）证明：MN//平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.P【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG,NG,QN为PC的中点，NG//BC，且NG=一AM//BC，且一AM//BC，且AM=-BC,则NG//AM，且NG=AM,四边形AMNG为平行四边形，则NM//AG,QAGu平面PAB,NM仁平面PAB,MN//平面PAB；第23页（共29页）2又AM=-AD=2,BC=4，且AD//BC,3

法二、在APAC中，过N作NE1AC，垂足为E，连接ME,在AABC中，由已知在AABC中，由已知AB=AC=3,得cosZACB二42+32-32QAD//BC,/.cos/.cosZEAM=—,3则sinZEAM=二5,3在AEAM中,一2.一1一3QAM=-AD=2,AE=—AC=—3 2 2,—厂 - —— 9.一3一23由余弦定理得：EM=AEE2+AM2-2AEgAMg^osZEAM=',：一+4一2x—x2x—=—4 2 32/.cosZAEM=+一4而在AABC/.cosZAEM=+一4而在AABC中，cosZBAC=32+32-422x3x3...cosZAEM=cosZBAC，即ZAEM=ZBAC，AB//EM，则UEM//平面PAB.由PA1底面ABCD，得PA1AC，又NE1AC,NE//PA,则UNE//平面PAB.QNEIEM=E,.•・平面NEM//平面PAB，则MN//平面PAB；2(2)解：在AAMC中，由AM=2,AC=3,cosZMAC=-,得3CM2=AC2+AM2-2ACgAM尔osZMAC=9+4-2x3x2x-=5.3AM2+MC2=AC2，则UAM1MC,QPA1底面ABCD,PAu平面PAD,.•・平面ABCD1平面PAD，且平面ABCDn平面PAD=AD,/.CM1平面PAD，则平面PNM1平面PAD.在平面PAD内，过A作AF1PM，交PM于F，连接NF，则ZANF为直线AN与平面PMN所成角.在RtAPAC中，由N是PC的中点，得AN=1PC=1vPA2+PC2=5,2 2 2第24页（共29页）

在RtAPAM中，由PAgAM在RtAPAM中，由PAgAM=PMgAF，得AF=PAgAMPMk42+22AF-5-8P5AN―5—252・•・直线AN与平面PMN所成角的正弦值为晅25.13.(2016•天津)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED±平面ABCD,EF//AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=<6.13.(2016•天津)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED±平面ABCD,EF//AB,(1)求证：FG//平面BED；(2)求证：平面BED±平面AED；(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【解答】证明：(1)BD的中点为O，连接OE,OG，在ABCD中，QG是BC的中点，OG//DC，且OG=1DC=1,2又QEF//AB,AB//DC,EF//OG，且EF=OG,即四边形OGEF是平行四边形，第25页(共29页)

FG//OE,QFG仁平面BED,OEu平面BED,FG//平面BED；(2)证明：在AABD中，AD=1,AB=2,ZBAD=60。,由余弦定理可得BD=v3，仅而ZADB=90。,即BD±AD,又Q平面AED±平面ABCD,BDu平面ABCD，平面AEDC平面ABCD=AD,「.BD±平面AED,QBDu平面BED,.•・平面BED±平面AED.（Ill）QEF//AB,.•・直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH±DE于点H，连接BH,又平面BEDC平面AED=ED,由（2）知AH1平面BED,.•・直线AB与平面BED所成的角为ZABH,2在AADE,AD=1,DE=3,AE=<6，由余弦定理得cosZADE=一,3sinZADE二三，3...AH...AH=AHAB6在RtAAHB中，sinZABH=——••・直线EF与平面BED所成角的正弦值AB66第26页（共29页）F E14.(2015•天津)如图，已知AA]±平面A5C,BB/