SPSS课程PPT( 置信区间估计)

生物统计与实验设计BiologicalStatisticsAndExperimentalDesigns

2第二章置信区间估计

2.1参数的点估计2.2估计量的评选标准2.3参数的区间估计2.4正态总体均值与方差的区间估计2.5两个正态总体均值及方差比的置信区间2.6单侧置信限32.1点估计1.点估计问题的提法2.估计量的求法3.小结矩估计法最大似然法估计方法点估计区间估计41.点估计问题的提法设总体

X的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.例15解用样本均值来估计总体的均值E(X).6点估计问题的一般提法72.估计量的求法由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,如何求估计量是关键问题.常用构造估计量的方法:(两种)矩估计法和最大似然估计法.(1).

矩估计法复习2.

样本

k阶(原点)矩89(X为连续型)(X为离散型)10矩估计法的定义用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.矩估计法的具体做法:矩估计量的观察值称为矩估计值.11例2设总体X的概率密度为其中为待估参数，设是来自X的一个样本，求的矩估计量..解

总体X的一阶矩为以一阶样本矩代替上式中的一阶总体矩，从中解出，，

得到的矩估计量为

12例3设总体X的概率密度为其中为待估参数，设是来自X的一个样本，求的矩估计量.13解总体X的一阶、二阶矩分别为分别以一阶、二阶样本矩代替上两式中的有14从中解得即得到的矩估计量为15解根据矩估计法,例416解例517解方程组得到a,b的矩估计量分别为18解解方程组得到矩估计量分别为例619上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.一般地,20(2).

最大似然估计法似然函数的定义2122最大似然估计法23似然函数的定义2425求最大似然估计量的步骤:最大似然估计法是由费舍尔引进的.26最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令对数似然方程组对数似然方程27解似然函数例728这一估计量与矩估计量是相同的.29例8在例2中求参数的最大似然估计值，设是一个样本值.解似然函数为令

解得注意到故所求

的最大似然估计值为这与的矩估计值不一样.30解X的似然函数为例93132它们与相应的矩估计量相同.33解例1034注：最大似然估计法也适用于分布中含多个未知参数的情形.353、小结两种求点估计的方法:矩估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时,

再用矩估计法.362.2估计量的评选标准1、问题的提出2、无偏性3、有效性4、相合性5、小结371.问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,如第一节的例4和例10.而且,很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准.382.无偏性无偏估计的实际意义:无系统误差.P(

)BA无偏有偏39证例140特别的:不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,41证例242(这种方法称为无偏化).43证明例344由以上例子可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.453.有效性由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好.AB的抽样分布的抽样分布P(

)46证明例4

(续例3)474、相合性相合性是对估计量的一个基本要求,不具备相合性的估计量是不予以考虑的.485、小结估计量的评选的三个标准无偏性有效性相合性由最大似然估计法得到的估计量,在一定条件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.492.3参数的区间估计1、区间估计的基本概念2、典型例题3、小结501.区间估计的基本概念(1)置信区间的定义51关于定义的说明52若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)按伯努利大数定理,在这样多的区间中,53例如54(2)求置信区间的一般步骤(共3步)枢轴量

55解例12.典型例题56常写成其置信区间的长度为57由一个样本值算得样本均值的观察值则置信区间为其置信区间的长度为58比较两个置信区间的长度置信区间短表示估计的精度高.说明:

对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况,易证取a和b关于原点对称时,能使置信区间长度最小.59说明评价一个置信区间的好坏有两个因素：一是精度，这可用区间长度来刻画；二是置信水平

.60今抽9件测量其长度,得数据如下(单位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解例2613.小结点估计不能反映估计的精度,故而本节引入了区间估计.求置信区间的一般步骤(分三步).622.4正态总体均值与方差的

区间估计3、小结1.2.63由上节例1可知:1.64包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.

假设重量服从正态分布,且标准差为，试求糖包解例165查表得66推导过程如下:67解例2(续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布68推导过程如下:根据相关统计定理2.69进一步可得:注意:在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).70解例3

(续例1)713、小结(正态总体）722.5两个正态总体均值差及

方差比的置信区间3.小结73讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.74推导过程如下:1.757677例1.耗氧率是跑步运动员生理活力的一个重要测度。文献中报导了大学生男运动员的两种不同的训练方法，一种是在一定时段内每日连续训练；另一种是间断训练（两种训练方法总训时间相同）。下面给出了两种不同训练方法下的实测数据。单位为毫升（氧）/千克（体重）·分钟。设数据分别来自正态总体和，两总体方差相同，两，，均未知。求两总体均的置信水平为0.95的置信区间。样本相互独立，值差78连续训练间断训练样本容量样本均值样本标准差解现在

79由得所求的一个置信水平为0.95的置信区间为即

（4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.80例2测得两个民族中各5位成年人的身高（以cm计）如下A民族162.6170.2172.7165.1157.5B民族175.3177.8167.6180.3182.9设样本分别来自总体，，未知，两样本独立，求的置信水平为0.90的置信区间。

81

解现在经计算

得

的一个置信水平为0.90的置信区间为即（－18.17，－4.15）.这个区间的上限小于零，在实际中我们就认为比小。82例3为比较І,ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取І型子弹10发,得到枪口速度的平均值为随机地取ІІ型子弹20发,得枪口速度平均值为假设两总体都可认为近似地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差相等,求两总体均值差信区间.解由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知),8384推导过程如下:2.85根据F分布的定义,知8687例4分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下工人操作4.023.644.034.023.954.064.00机器人操作4.014.034.024.014.003.994.024.00涉及的两总体分别为

均未知，两样本相互独立，

求的置信水平为0.90的置信区间。88解现在经计算得

所求的

的置信水平为0.90的置信区间为

这个区间的下限大于1，在实际中，我们就认为比大。89解例5研究由机器A和机器B生产的钢管内径,随机抽取机器A生产的管子18只,测得样本方差为均未知,求方差比区间.设两样本相互独抽取机器B生产的管子13只,测得样本方差为立,且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布信909192932.6单侧置信限2、基本概念3、典型例题1、问题的引入4、小结941、问题的引入但在某些实际问题中,例如,对于设备、元件的寿命来说,平均寿命长是我们希望的,我们关心的是平均寿命的“下限”;与之相反,在考虑产品的废品率

p时,我们常关心参数

p的“上限”,这就引出了单侧置信区间的概念.952、基本概念1).

单侧置信区间的定义962).

正态总体均值与方差的单侧置信区间97983、典型例题设从一批灯泡中,随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050,1100,1120,1250,1280,设灯泡寿命服从正态分布,求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解例199例2

下面列出了自密歇根湖中捕获的10条鱼的聚氯联苯（以mg/kg计）的含量（这是一种有毒化学物）：11.512.011.611.810.410.812.211.912.412.6设样本来自正态总体均未知。试求的置信水平为0.95的单侧置信上限。解现在

经计算得套用公式得所求置信上限为100例3

下面分别列出了某地25～35岁吸烟和不吸烟的男子的血压（收缩压，以mm–kg计）.设两样本分别来自总体均未知，两样本相互独立，求的置信水平为0.90的置信下限。吸烟