高中数学北师大版5第二章几个重要的不等式 学业分层测评11排序不等式

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)的最小值为()A．3 B．6C．9 D．12【解析】由题意，不妨设a1≥a2≥a3>0，则eq\f(1,a3)≥eq\f(1,a2)≥eq\f(1,a1)>0，∴eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋eq\f(a3,a3)＝3，当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立．【答案】A2．设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝aeq\o\al(2,1)beq\o\al(－1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(－1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(－1,n)，Q＝a1＋a2＋…＋an，则P与Q的大小关系是()A．P＝Q B．P>QC．P<Q D．P≥Q【解析】设a1≥a2≥…≥an>0，可知aeq\o\al(2,1)≥aeq\o\al(2,2)≥…≥aeq\o\al(2,n)，aeq\o\al(－1,n)≥aeq\o\al(－1,n－1)≥…≥aeq\o\al(－1,1).由排序不等式，得aeq\o\al(2,1)beq\o\al(-1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(-1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(-1,n)≥aeq\o\al(2,1)aeq\o\al(-1,1)＋aeq\o\al(2,2)aeq\o\al(-1,2)＋aeq\o\al(2,n)aeq\o\al(-1,n)，即aeq\o\al(2,1)beq\o\al(-1,1)＋aeq\o\al(2,2)beq\o\al(-1,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)beq\o\al(-1,n)≥a1＋a2＋…＋an.∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…＝an>0时等号成立．【答案】D3．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，至多花________元．()A．20,23 B．19,25C．21,23 D．19,24【解析】单价大小排列为3,2,1，待买礼品数量排列为5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是顺序和3×5＋2×4＋1×2＝25，最小值是逆序和3×2＋2×4＋1×5＝19.【答案】B4．设a1，a2，a3为正数，则eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)与a1＋a2＋a3大小关系为()A．> B．≥C．< D．≤【解析】不妨设a1≥a2≥a3>0，于是eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式：顺序和≥乱序和，得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a3a1,a2)＋eq\f(a2a3,a1)≥eq\f(1,a2)·a2a3＋eq\f(1,a3)·a3a1＋eq\f(1,a1)·a1a2＝a3＋a1＋a2，即eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3.【答案】B5．a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则a1beq\o\al(－1,1)＋a2beq\o\al(－1,2)＋…＋anbeq\o\al(－1,n)的最小值是()A．1 B．nC．n2 D．无法确定【解析】设a1≥a2≥…≥an>0.可知aeq\o\al(－1,n)≥aeq\o\al(－1,n－1)≥…≥aeq\o\al(－1,1)，由排序原理，得a1beq\o\al(－1,1)＋a2beq\o\al(－1,2)＋…＋anbeq\o\al(－1,n)≥a1aeq\o\al(－1,1)＋a2aeq\o\al(－1,2)＋…＋anaeq\o\al(－1,n)＝n.【答案】B二、填空题6．设a≥b>0，则a3＋b3与a2b＋ab2的大小关系是__________．【解析】∵a≥b>0，∴a2≥b2>0，因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)．【答案】a3＋b3≥a2b＋ab27．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.【解析】等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．【答案】418．若a>0，b>0且a＋b＝1，则eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值是__________.【导学号：94910034】【解析】不妨设a≥b>0，则有a2≥b2，且eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式得eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥eq\f(1,a)·a2＋eq\f(1,b)·b2＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立．∴eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)的最小值为1.【答案】1三、解答题9．设a，b，c为正数，求证：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.【证明】由对称性，不妨设a≥b≥c>0，于是a12≥b12≥c12，eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥eq\f(a12,ab)＋eq\f(b12,bc)＋eq\f(c12,ca)＝eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a). ①又因为a11≥b11≥c11，eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)≤eq\f(1,c).再次由排序不等式：逆序和≤乱序和，得eq\f(a11,a)＋eq\f(b11,b)＋eq\f(c11,c)≤eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a). ②所以由①，②得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.10．已知0<α<β<γ<eq\f(π,2)，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．【证明】∵0<α<β<γ<eq\f(π,2)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))为增函数，y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))为减函数，∴0<sinα<sinβ<sinγ，cosα>cosβ>cosγ>0.根据排序不等式得：乱序和≥逆序和．又∵本题中等号不可能取到，∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．能力提升]1．已知a，b，c为正数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零 B．大于等于零C．小于零 D．小于等于零【解析】设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.【答案】B2．锐角三角形中，设P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的关系为()A．P≥Q B．P＝QC．P≤Q D．不能确定【解析】不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)≥Rsin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝eq\f(a＋b＋c,2)＝P.【答案】C3．设a，b，c是正数，则aabbcc________(abc)eq\s\up12(\f(a＋b＋c,3)).【解析】不妨设a≥b≥c>0，则lga≥lgb≥lgc，据排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，以上两式相加，再两边同加alga＋blgb＋clgc，整理得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥eq\f(a＋b＋c,3)·lg(abc)，故aabbcc≥(abc)eq\s\up12(\f(a＋b＋c,3)).【答案】≥4．设a，b，c大于0，求证：(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；(2)eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,abc).【证明】(1)不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，∴a3＋b3≥ab(a＋b)．(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)．所以eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq