高中数学北师大版1第四章导数应用 第4章2

第四章§2一、选择题(每小题5分，共20分)1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝eq\f(1,4)t4－eq\f(5,3)t3＋2t2，那么速度为零的时刻是()A．1秒末 B．0秒C．4秒末 D．0,1,4秒末解析：∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝4，t3＝1，故选D.答案：D2．一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f(x)＝3eq\r(x)，则从4m到9m这一段金属棒的平均线密度是\f(2,5)kg/m B．eq\f(3,5)kg/m\f(3,4)kg/m D．eq\f(1,2)kg/m解析：平均线密度：eq\f(f9－f4,9－4)＝eq\f(3\r(9)－3\r(4),5)＝eq\f(3,5)(kg/m)．答案：B3．某汽车的紧急刹车装置需在遇到紧急情况2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝eq\f(1,3)t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为()A．汽车刹车后1s内的位移B．汽车刹车后1s内的平均速度C．汽车刹车后1s时的瞬时速度D．汽车刹车后1s时的位移解析：s′(t)表示运动物体在时刻t的速度即在t的瞬时速度．答案：C4．物体自由落体运动方程为s＝s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若s′(1)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝(m/s)，那么下列说法正确的是()A．9.8m/s是在0～1B．9.8m/s是从1s到(1＋ΔtC．9.8m/s是物体在t＝1D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt解析：解本题时关键弄清瞬时速度与平均速度的概念答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm解析：∵s＝πr2，r＝50t，∴s＝2500πt2，r＝50t＝250，∴t＝5∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2500π5＋Δt2－2500π52,Δt)＝eq\f(2500πΔt2＋10Δt,Δt)＝2500πΔt＋25000π.eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝25000π.答案：25000πcm2/s6．某收音机制造厂管理者通过对上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝______，它的实际意义为________．解析：∵Q(t)＝－t3＋9t2＋12t∴Q′(t)＝－3t2＋18t＋12∴Q′(2)＝－3×4＋18×2＋12＝36台/时实际意义：10：00时工人装配收音机的速度为36台/时．答案：36(台/时)10：00时工人装配收音机的速度为36台/时三、解答题(每小题10分，共20分)7．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝eq\f(120,t＋5)＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)(1)从t＝0min到t＝10min，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t＝0min到t＝10min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么意义？(3)当t＝5min时，蜥蜴的体温下降的瞬时变化率是多少？它表示什么意义？解析：(1)∵T(10)－T(0)＝eq\f(120,10＋5)＋15－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,5)＋15))＝－16(℃)∴从t＝0min到t＝10min，蜥蜴的体温下降了16(2)从t＝0min到t＝10min，蜥蜴体温下降的平均变化率是：eq\f(T10－T0,10)＝eq\f(－16,10)＝－(℃/min)．它表示从t＝0min到t＝10min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6(3)∵T′(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,t＋5)＋15))′＝eq\f(－120,t＋52)，∴当t＝5min时，蜥蜴的瞬时变化率为：T′(5)＝－eq\f(120,102)＝－(℃/min)，它表示t＝5min时蜥蜴体温的下降速度为1.28．江轮逆水上行300km，水速为6km/h，船相对于水的速度为xkm/h，已知船航行时每小时的耗油量为(1)试写出江轮航行过程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：y＝f(x)；(2)求f′(36)，并解释它的实际意义．(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)解析：(1)船的实际速度为(x－6)km/h，故全程用时eq\f(300,x－6)h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝eq\f(300×,x－6)＝eq\f(3x2,x－6)(x>6)．(2)f′(x)＝3·eq\f(2xx－6－x2,x－62)＝eq\f(3xx－12,x－62)，f′(36)＝eq\f(3×36×36－12,36－62)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,km/h)))f′(36)表示当船相对于水的速度为36km/h时耗油量增加的速度为2.88L/h，也就是说当船相对于水的速度为36eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．解析：(1)总利润为5000600元，平均利润为5元；(2)平均改变量eq\f(－2×15002＋7000×1500＋600＋2×10002－7000×1000－600,1500－1000)＝eq\f(1000000,500)＝2000(元)；(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋70