高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）指数函数 优秀

8．分数指数幂张长印学习目标1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解次方根式的概念．2．熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根．3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．一、夯实基础基础梳理1．整数指数幂的概念．（1）正整数指数幂：．（2）零指数幂：．（3）负整数指数幂：．2．整数指数幂的运算性质：（1）；（2）；（3）．3．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根；如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．4．如果，那么叫做的次方根，其中，且．（1）当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．（2）当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根有符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并成．（3）负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作．（4）式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．（5）负数没有偶次方根；0的任何次方根都是，记作．5．次方根的意义，．6．分数指数幂（1）正数的正分数指数幂：__________（）（2）正数的负分数指数幂：__________（）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．7．有理数指数幂的运算法则：（1）__________（）（2）__________（）（3）__________（）基础达标1．将化为分数指数幂，其正确的形式是（）A． B． C． D．2．可化简为（）．A．1 B． C． D．3．下列各式中成立的是（）A． B． C． D．4．27的平方根和立方根分别是__________．5．化简__________．二、学习指引自主探究1．初中，我们学过平方根、立方根这一重要数学概念，请叙述平方根、立方根这两个概念内容，并指出它们的表示方法．2．幂指数表示与我们的生活息息相关，下一列实际问题的结果果都要用到幂指数表示，请用幂指数把它们的结果表示出来，并总结这些问题的共同特点．（1）某市人口平均每年增长率为，2000年人口数为1万，则3年后人口数为多少万？（2）国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年（国内生产总值）年平均增长率为，则十年后为2000年的多少倍？（3）生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡年后体内碳14的含量与死亡时碳14的关系为？（4）某人有银行存入万元，年利率为，按复利计算，5年后，从银行连本带息全部取出，他能取出多少钱？3．阅读课本，请叙述根式的概念．4．请总结根式运算性质及根式化简方法．5．阅读课本，看看分数指数幂是如何规定的？指数幂有哪些运算性质？案例分析1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）．2．用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）；（2）；（3）．【解析】根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算比较方便．（1）；（2）；（3）．3．求下列函数的定义域；（1）；（2）．【解析】（1）有意义当且仅当；对一切实数都有意义：有意义当且仅当，故所求函数定义域为：．（2）有意义当且仅当；有意义当且仅当，故所求函数定义域为：．4．已知，若，求．【解析】由得，，即．所以，故．5．从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？【解析】设第次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为，则第次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为，则从第1次开始，容器中剩下的纯酒精的升数依次为：，，，，．这样进行5次，容器中和剩下的纯酒精的升数为．三、能力提升能力闯关1．已知，求的值．2．化简．3．设．（1）将化简为关于的幂的形式．（2）是否存在，使得是关于的整数指数幂？拓展迁移1．化简得（）A． B． C． D．2．已知实数满足方程．（1）试找出一组满足方程的实数；（2）化简方程，使结果不含根式．挑战极限1．是否存在无理数，使得是有理数？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．课程小结1．对于根式符号，要注意以下几点；（1）当时，一般省略不写，即；（2）0的次方根一定为0，即；（3）当是大于1的奇数时，对任意实数，都有意义，它表示实数的次方根，是一个确定的实数．（4）当是大于1的偶数时，对任意非负实数，都有意义，且时，它表示正数的正的次方根，是一个确定的正实数，另一个负的次方根为．2．若，，则（哦奇数时，可取一切实数；为偶数时，）；3．对于分数指数幂根，要注意以下几点：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式．，（，且），0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义，．（2）引入分数指数幂后，指数概念就实现了由整数到有理数的扩充，同样，运算性质也扩充了适用范围：设，则，．（3）进行根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算往往比较方便，分数指数幂的计算与化简，要注意多项式乘法分式的应用．

8．分数指数幂基础梳理6．（，且）：（，且）．7．（）：：基础达标1．．2．．【解析】．3．．【解析】A．；B．；C．；D．．4．，．【解析】因为，所以的平方根有两个：与；而，所以的立方根是．5．．【解析】．自主探究1．【解析】平方根、立方根含义及符号表示如下：（1）如果，那么叫做的平方根．正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正平方根称为算术平方根，记作，负平方根记作，的平方根记为．（2）如果，那么叫做的立方根．若，则；若，则；若，则．实数的立方根是唯一的，记作：．2．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．这些问题的共同特点就是：问题都是和变化率有关，且这些变化率是固定常数．3．【解析】一般地，若，那么叫做的次方根，其中．当为奇数时，正常的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．记为．当为偶数时，正数的次方根有两个，记为；负数没有偶次方根．的次方根都是，记作．4．【解析】根式有如下运算性质：（1）；（2）；（3）．化简方法：当是奇数时，；当是偶数时，5．【解析】分数指数幂规定如下：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；若是正分数，则；符号没有意义．指数幂的运算性质规定如下：（1）；；（2）；（3）．从上述运算性质，我们可以看出：若，则．能力闯关1．【解析】由得，两边平方得，所以，．2．【解析】原式．3．【解析】（1）．（2）当且仅当时，可化为关于的整数指数幂．说明：确定指数为整数时，可在的允许取值范围内由小到大依次取值检验，决定取舍．拓