高中数学人教A版本册总复习总复习 优秀2

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·景德镇期末)已知直线x－eq\r(3)y－2＝0，则该直线的倾斜角为()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：直线x－eq\r(3)y－2＝0的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故倾斜角为30°，选A.答案：A2．(2023·濮阳综合高中月考)过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 \r(2)C．2 D．不确定解析：由kAB＝eq\f(b－a,5－4)＝1，得b－a＝1，即|AB|＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(2).故选B.答案：B3．(2023·葫芦岛期末)在空间直角坐标系中已知点P(0,0，eq\r(3))和点C(－1,2,0)，则在y轴上到P和C的距离相等的点M坐标是()A．(0,1,0) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)) D．(0,2,0)解析：设M(0，y,0)，则|MP|＝|MC|，所以eq\r(y2＋\r(3)2)＝eq\r(－12＋2－y2)，解得y＝eq\f(1,2)，故选C.答案：C4．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为()A．1或－1 B．2或－2C．1 D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得eq\f(|1＋a＋0＋1|,\r(1＋a2＋1))＝1，即|a＋2|＝eq\r(a＋12＋1)，平方整理得a＝－1，故选D.答案：D5．(2023·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()\f(4\r(3),3)π \f(1,2)π\f(\r(3),3)π \f(\r(3),6)π解析：由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆 锥的半径为1，高为eq\r(3)，故所求体积为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6)π，选D.答案：D6．(2023·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中m，n为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)①m⊥α，n∥α⇒m⊥n②m∥n，n∥α⇒m∥α③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β④m∩n＝A，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C.答案：C7．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析：依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，所以l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，故选A.答案：A8．(2023·大连六校联考)若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为()\f(7,9) B．－eq\f(1,3)\f(7,9)或eq\f(1,3) D．－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3)解析：由eq\f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋12))＝eq\f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋12))，解得a＝－eq\f(7,9)或－eq\f(1,3)，故选D.答案：D9．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，选C.答案：C10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心 B．重心C．外心 D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．故选A.答案：A11．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的点共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心坐标是(－1，－2)，半径是2eq\r(2)，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)的平行线与圆相切，只有一个交点，共有3个交点，故选C.答案：C12．(2023·德州高一期末)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()\f(\r(2),12)a3 \f(a3,12)\f(\r(2),4)a3 \f(a3,6)解析：取AC的中点O，如图，则BO＝DO＝eq\f(\r(2),2)a，又BD＝a，所以BO⊥DO，又DO⊥AC，所以DO⊥平面ACB，VD－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·DO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),12)a3.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．如下图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为________．解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2eq\r(2).故S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AO＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)14．已知A(0,8)，B(－4,0)，C(m，－4)三点共线，则实数m的值是________．解析：kAB＝eq\f(8－0,0＋4)＝2，kBC＝eq\f(0＋4,－4－m)∵kAB＝kBC，∴m＝－6.答案：－615．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：先求弦心距，再求弦长．圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝eq\f(|2×3－4＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(25－5)＝2eq\r(20)＝4eq\r(5).答案：4eq\r(5)16．已知正四棱锥O－ABCD的体积为eq\f(3\r(2),2)，底面边长为eq\r(3)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．解析：本题先求出正四棱锥的高h，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解．V四棱锥O－ABCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)h＝eq\f(3\r(2),2)，得h＝eq\f(3\r(2),2)，∴OA2＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(18,4)＋eq\f(6,4)＝6.∴S球＝4πOA2＝24π.答案：24π三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2023·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．解析：如图所示，作出轴截面，因为△ABC是正三角形，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，因为Rt△AOE∽Rt△ACD，所以eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).设OE＝R，则AO＝2eq\r(3)－R，所以eq\f(R,2\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，所以R＝eq\f(2\r(3),3).所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3＝eq\f(32\r(3)π,27).所以球的体积等于eq\f(32\r(3)π,27).18．(本小题满分12分)(2023·福建八县一中联考)已知直线l：kx－y＋1－2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|＝|OB|，求k的值．解析：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y－1＝k(x－2)，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1－2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0－2)k－y0＋1＝0恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－2＝0，,－y0＋1＝0))解得x0＝2，y0＝1，故直线l总过定点(2,1)．(2)因为直线l的方程为y＝kx－2k＋1，则直线l在y轴上的截距为1－2k，在x轴上的截距为2－eq\f(1,k)，依题意1－2k＝2－eq\f(1,k)＞0，解得k＝－1或k＝eq\f(1,2)(经检验，不合题意)所以所求k＝－1.19．(本小题满分12分)(2023·西安一中期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．求证：(1)C1O∥平面AB1D1；(2)A1C⊥平面AB1D1.证明：(1)连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A1ACC1是平行四边形，D1B1∩AB1＝B1，所以A1C1∥AC，且A1C1＝AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，所以O1C1∥AO且O1C1＝AO，所以AOC1O1是平行四边形，所以C1O∥AO1，AO1⊂平面AB1D1，C1O⊄平面AB1D1，所以C1O∥平面AB1D1，(2)因为CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，又因为A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面A1C1C，即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.20．(本小题满分12分)求圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A(0,1)，与直线x＋y＝1相切的圆的标准方程．解析：因为圆心在直线y＝－2x上，设圆心坐标为(a，－2a)，则圆的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2，圆经过点A(0,1)且和直线x＋y＝1相切，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋2a＋12＝r2，,\f(|a－2a－1|,\r(2))＝r，))解得a＝－eq\f(1,3)，r＝eq\f(\r(2),3)，所以圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,3)))2＝eq\f(2,9).21．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)求证：AB⊥平面VAD；(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的大小．解析：(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD.∵平面VAD⊥底面ABCD，平面VAD∩底面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，∴AB⊥平面VAD.(2)取VD的中点E，连接AE，BE.∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝eq\f(\r(3),2)AD.∵AB⊥平面VAD，VD⊂平面VAD，∴AB⊥VD.又AB∩AE＝A，∴VD⊥平面ABE.∵BE⊂底面ABE，∴VD⊥BE.∴∠ABE就是平面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角．在Rt△BAE中，tan∠BEA＝eq\f(BA,AE)＝eq\f(AD,\f(\r(3),2)AD)＝eq\f(2\r(3),3).∴平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值为eq\f(2\r(3),3).22.(本小题满分13分)如图，设P是圆x2＋